"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение задачи — это последовательный переход от её условия к ответу с помощью рассуждений и математических действий. Сначала нужно выяснить, какие величины известны и что требуется найти, затем установить связи между данными и записать их в виде выражения, уравнения, схемы или таблицы. Такая математическая модель помогает выбрать верный способ решения. В конце результат проверяют по условию и формулируют ответ с нужными единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Условие задачи — это сведения о ситуации и связи между величинами. В нём нужно отделить известные данные от того, чего пока не знаем. Это помогает не перепутать числа и понять, какие из них понадобятся для решения.
Вопрос задачи — величина или факт, который требуется найти. Он задаёт цель: вычисления должны привести именно к ответу на этот вопрос. Если вопрос не замечен, можно правильно найти промежуточное значение, но не решить задачу полностью.
Математическая модель — запись ситуации с помощью выражения, уравнения, схемы или таблицы. Она показывает отношения между величинами в более короткой и удобной форме. По модели становится яснее, какие действия или преобразования нужно выполнить.
Проверка решения — сопоставление найденного результата с условием и вопросом задачи. Нужно убедиться, что ответ подходит по смыслу и отвечает именно на поставленный вопрос. Такая проверка помогает заметить не только ошибку в вычислениях, но и неверно выбранный способ.
Решение начинают с осмысления условия, а не с попытки сразу выполнить действие. Сначала выясняют, какие величины известны, что требуется найти и как данные связаны. Это нужно потому, что одно и то же число в разных задачах может обозначать разные величины, а значит, требовать разных действий. Полезно пересказать условие своими словами и сформулировать вопрос отдельно.
Краткая запись, схема или таблица помогают упорядочить данные, особенно если в задаче несколько величин или этапов. В такой записи видно, что известно для каждого объекта и что нужно определить. Благодаря этому легче сравнить величины, заметить последовательность изменений и не принять одно данное за другое. Выбирай запись по ситуации: схема показывает отношения, таблица удобно собирает данные, а краткая запись оставляет только главное.
Математическую модель выбирают не по тому, какие числа встретились в тексте, а по смыслу связи между ними. Если неизвестное входит в равенство с известными величинами, часто удобно обозначить его буквой и составить уравнение. Если нужно выполнить несколько понятных друг за другом действий, можно записать выражение. Верная модель сохраняет отношения из условия, поэтому до вычислений полезно объяснить, что означает каждое её число или действие.
После составления модели её решают: выполняют вычисления или находят неизвестное в уравнении. Каждый шаг должен следовать из предыдущего и быть связан с условием, а не появляться случайно. Если решение состоит из нескольких действий, отмечай, что именно найдено на каждом этапе. Так проще контролировать ход работы и затем правильно использовать промежуточный результат.
В конце ответ проверяют двумя способами: пересматривают вычисления и оценивают смысл полученного значения. Спроси себя, может ли величина быть такой, не противоречит ли ответ данным и решён ли именно вопрос задачи. Проверь также единицы измерения: например, количество предметов не выражают в сантиметрах. После проверки сформулируй ответ словами и укажи нужные единицы.
| Этап | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Понять условие | Прочитать задачу и выяснить связи между величинами | Ясное представление о ситуации |
| Выделить данные и вопрос | Отделить известное от неизвестного | Понятна цель решения |
| Выбрать краткую запись, схему или таблицу | Упорядочить данные удобным способом | Связи между величинами видны наглядно |
| Составить математическую модель | Записать отношения выражением или уравнением | Получен план вычислений или уравнение |
| Решить модель | Выполнить вычисления или решить уравнение | Найдено значение искомой величины |
| Проверить и записать ответ | Сверить результат с условием и указать единицы | Обоснованный ответ на вопрос |
Пользуйся этапами как планом: если неясно, какое действие выбрать, вернись к условию и выясни связь между нужными величинами. Не обязательно каждый раз оформлять отдельную схему, но данные и вопрос должны быть понятны. После решения пройди этап проверки и запиши ответ словами.
В коробке было 36 карандашей. 14 карандашей раздали. Сколько осталось? Нужно найти количество после того, как часть предметов убрали. Поэтому из первоначального количества вычитаем отданное; ответ должен быть меньше 36.
Ответ: осталось 22 карандаша.
За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Сначала найдём цену одной тетради: без этого нельзя узнать стоимость пяти. Затем умножим цену одной тетради на их количество, сохраняя рубли в ответе.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей.
Периметр прямоугольника равен 34 см, а длина на 3 см больше ширины. Найдём стороны. Обозначим ширину буквой x сантиметров, тогда длина равна x + 3 сантиметра. Периметр складывается из двух ширин и двух длин, поэтому составим уравнение 2x + 2(x + 3) = 34.
Ответ: ширина прямоугольника 7 см, длина 10 см.
Начинать вычисления, не выяснив вопрос, — значит рисковать принять промежуточное значение за ответ. Такое случается, когда числа в условии сразу подсказывают знакомое действие, и ученик торопится. Перед решением выпиши или подчеркни, что именно нужно найти. В конце сравни полученный результат с формулировкой вопроса.
Выражение или уравнение нельзя составлять только по порядку чисел в тексте: действия должны отражать связи между величинами. Ошибку допускают, если выбирают действие по отдельным словам, не представляя, что оно означает. Поясни смысл каждого числа и знака в модели. Затем проверь, описывает ли она ситуацию из условия.
Пропуск единиц измерения или смешение единиц делает ответ неполным, а иногда и неверным. Это часто происходит, когда внимание сосредоточено только на числах и вычислениях. Записывай единицы рядом с величинами и проверяй, что складываешь или сравниваешь величины одного рода. В итоговом ответе обязательно укажи подходящую единицу.
Повторное выполнение тех же вычислений само по себе не гарантирует правильность: одна и та же ошибка может повториться. Кроме того, арифметически верное число может не подходить по смыслу задачи. Подставь результат в условие или проверь, восстанавливает ли он исходные данные. Оцени также, отвечает ли итог на заданный вопрос.
Чтобы решать текстовые задачи, нужно уметь внимательно читать условие, выполнять арифметические действия и работать с выражениями и уравнениями. Эти навыки помогают перейти от слов к математической записи и выбрать подходящий способ. Приёмы построения моделей пригодятся в задачах на проценты и отношения, в задачах на движение и при решении практических задач по геометрии. Чем яснее записаны связи между данными, тем проще применить знакомые математические правила.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала выясни, что известно и что требуется найти, а затем определи, как величины связаны между собой. Первым выполняй действие, которое находит нужную промежуточную величину или напрямую отвечает на вопрос.
Когда задачу удобнее решать с помощью уравнения?
Уравнение удобно, если в задаче есть неизвестная величина и её связь с известными данными можно записать равенством. Обозначь неизвестное буквой и вырази через неё остальные величины.
Обязательно ли делать краткую запись или чертёж?
Не всегда: для простой задачи достаточно внимательно прочитать условие и выделить данные с вопросом. Краткая запись, схема или чертёж особенно полезны, когда величин много или связи между ними трудно удержать в уме.
Как проверить ответ, если задача решена несколькими действиями?
Проверь вычисления каждого шага и убедись, что промежуточные результаты имеют подходящий смысл и единицы. Затем подставь итог в условие или восстанови ход рассуждений и проверь, что получен ответ именно на поставленный вопрос.
Что делать, если полученный ответ не подходит по смыслу?
Не записывай его как окончательный: проверь, верно ли выбраны действия или составлено уравнение, и пересчитай шаги. Сравни результат с условием, оцени его величину и проверь единицы измерения.
2.38. Решение задач
