Путешествие 6. Последний звонок и летние каникулы

Определения и обозначения

Процент — это одна сотая часть величины, поэтому 1% записывают дробью 1/100, или десятичной дробью 0,01. Чтобы найти p% от числа, умножают число на p/100: например, 15% от 200 равны 200 × 0,15 = 30. Это удобно, когда нужно вычислить скидку, часть расходов или долю времени.

Скорость — расстояние, пройденное за единицу времени. Если расстояние обозначить s, скорость — v, а время — t, то s = v × t; отсюда v = s/t и t = s/v. Эти зависимости помогают рассчитать путь или продолжительность поездки, если известны две из трёх величин.

Масштаб — отношение длины на изображении к соответствующей длине на местности. Запись 1:250 000 означает, что 1 см на плане соответствует 250 000 см на местности. Масштаб нужен, чтобы по карте или плану оценить настоящий путь; обе длины сначала выражают в одинаковых единицах.

Среднее арифметическое — частное от деления суммы нескольких чисел на их количество. Например, для чисел 2, 4 и 6 оно равно (2 + 4 + 6)/3 = 4. Оно показывает, каким было бы общее значение, если бы сумму распределили поровну между всеми данными.

Как это устроено

Бытовое условие сначала превращают в математическую модель — короткое описание ситуации с помощью чисел и связей между ними. Выпиши известные данные вместе с единицами измерения, затем сформулируй вопрос: что именно нужно найти. После этого выбери действие или формулу и только тогда подставляй числа. Такой порядок не даёт спутать, например, стоимость всей поездки с расходами на одного человека.

Продолжительность поездки находят из связи между расстоянием, скоростью и временем. Если известны путь и скорость, время равно расстоянию, делённому на скорость; если известны время и скорость, расстояние равно их произведению. Единицы должны согласовываться: при скорости в километрах в час время выражают в часах, иначе перед вычислением его переводят. Проверка помогает заметить несоответствие: например, результат для короткой поездки не должен составлять несколько суток.

Скидка в процентах — это часть первоначальной стоимости, а не новая цена. Сначала процент переводят в дробь и умножают на цену, получая сумму скидки. Затем эту сумму вычитают из начальной стоимости, потому что покупатель платит меньше. Можно проверить результат: цена со скидкой должна быть положительной и ниже первоначальной, если скидка меньше 100%.

При работе с планом или картой масштаб показывает, во сколько раз изображение уменьшено относительно местности. Длину на плане умножают на число, задающее масштаб, но обе длины должны быть выражены в одинаковых единицах. Например, сантиметры на плане сначала дают расстояние на местности в сантиметрах, которое затем можно перевести в километры. Такой порядок исключает ошибку из-за смешивания разных единиц.

Чтобы обобщить данные о времени или расходах, находят их среднее арифметическое: складывают все значения и делят на число наблюдений. Делитель — именно количество данных, а не количество разных значений. Среднее помогает сравнить дни или поездки, но не рассказывает, насколько сильно отдельные значения отличаются от него. Поэтому результат сопоставляют с исходными числами и оценивают, правдоподобен ли он для этой ситуации.

Математические модели для задач о поездках и каникулах

Сначала найди в таблице строку, соответствующую вопросу задачи, и проверь, есть ли в условии нужные данные. Затем используй указанную связь, предварительно приведя единицы к подходящему виду. Последний столбец помогает проверить не только вычисление, но и смысл ответа.

Разбор задач

Задача 1. На поездку отведено 3 часа, а скорость автобуса составляет 60 км/ч. Нужно узнать, какое расстояние автобус проедет за это время. Здесь известны скорость и время, поэтому используем связь s = v × t.

1. Записываем данные: v = 60 км/ч, t = 3 ч. Часы в скорости и времени совпадают, поэтому переводить единицы не требуется.
2. Находим расстояние: s = 60 × 3 = 180 км. Умножение километров в час на часы оставляет километры.
3. Проверяем смысл: за три часа автобус проедет втрое больше, чем за один час. Значит, расстояние 180 км согласуется с указанной скоростью.

Ответ: автобус проедет 180 км. Мы выбрали умножение, потому что каждый час автобус проходит 60 км, а таких часов три. Если бы искомым было время или скорость, потребовалось бы выразить другую величину из той же связи.

Задача 2. Билет стоит 2400 рублей, на него действует скидка 15%. Требуется определить сумму к оплате. Сначала найдём, сколько рублей составляет скидка, а затем вычтем её из начальной цены.

1. Переводим процент в десятичную дробь: 15% = 15/100 = 0,15. Так можно умножить цену на долю, которую составляет скидка.
2. Вычисляем скидку: 2400 × 0,15 = 360 рублей. Это не цена билета, а сумма, которую покупатель сэкономит.
3. Вычитаем скидку из полной стоимости: 2400 − 360 = 2040 рублей. Проверяем: результат меньше 2400 рублей, как и должно быть при скидке.

Ответ: за билет нужно заплатить 2040 рублей. Важно не остановиться после вычисления 360 рублей: эта величина показывает размер скидки. Новая цена получается только после вычитания скидки из первоначальной стоимости.

Задача 3. На плане расстояние между двумя пунктами равно 4,8 см, масштаб — 1:250 000. Нужно найти расстояние между пунктами на местности в километрах. Масштаб означает, что каждому сантиметру на плане соответствуют 250 000 сантиметров на местности.

1. Находим длину на местности в сантиметрах: 4,8 × 250 000 = 1 200 000 см. Умножаем, потому что реальное расстояние больше расстояния на плане в 250 000 раз.
2. Переводим сантиметры в километры: 1 км = 100 000 см, значит, 1 200 000 ÷ 100 000 = 12 км. Перевод выполняем после расчёта по масштабу.
3. Проверяем порядок величины: реальное расстояние должно быть намного больше 4,8 см на плане. Полученные 12 км подходят для расстояния между пунктами.

Ответ: расстояние на местности равно 12 км. Сначала мы получили длину в тех же единицах, что и длина на плане, а потом перевели её в километры. Если оставить ответ в сантиметрах, он будет правильным по вычислению, но неудобным для описания маршрута.

Типичные ошибки

Иногда в формулу подставляют числа наугад и путают расстояние, скорость и время. Обычно причина в том, что формулу вспоминают до того, как определили искомую величину. Сначала запиши связь s = v × t и вырази из неё нужное: тогда для времени получится деление, а для расстояния — умножение. Проверь также, что единицы результата соответствуют искомой величине.

Сумму скидки иногда принимают за цену после скидки. Так происходит потому, что после первого вычисления уже получено конкретное число в рублях, но оно отвечает на вопрос о размере скидки. Чтобы проверить себя, сравни результат с исходной ценой: стоимость после скидки должна быть равна исходной цене минус скидка и быть меньше неё.

При вычислении по масштабу можно оставить ответ в сантиметрах или смешать сантиметры с километрами. Ошибка возникает, если переходить к переводу единиц до того, как понятно, что именно означает число в масштабе. Умножь длину на плане на масштаб, получи реальную длину в тех же единицах и затем переведи её. Для проверки оцени, должен ли ответ на местности быть больше длины на плане.

В среднем арифметическом сумму порой делят не на то количество. Например, могут посчитать только разные значения, хотя исходных наблюдений было больше. Пересчитай данные, включая повторяющиеся числа: каждое наблюдение учитывается отдельно. Проверка обратным действием — умножить среднее на количество значений и сравнить с их суммой.

Связь с другими темами

Для этих задач нужны уверенные действия с натуральными числами и десятичными дробями, а также перевод единиц длины и времени. Без этого легко правильно выбрать формулу, но получить неверный результат из-за вычислительной ошибки или несогласованных единиц. Полезно заранее вспомнить, сколько сантиметров в метре и километре и как переводить минуты в часы.

Проценты встречаются в задачах о покупках и скидках, масштаб — при чтении планов и карт, а связь скорости, времени и расстояния — при составлении маршрутов. Среднее арифметическое позволяет обобщать данные о расходах и продолжительности поездок. Вместе эти знания помогают планировать каникулы и проверять, реалистичны ли полученные расчёты.

Что запомнить

• Расстояние равно произведению скорости на время.
• Скорость равна расстоянию, делённому на время.
• Чтобы найти процент от числа, число умножают на соответствующую дробь.
• Стоимость после скидки равна начальной стоимости минус размер скидки.
• Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на изображении меньше расстояния на местности.
• Среднее арифметическое находят делением суммы чисел на их количество.