"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовая задача описывает ситуацию, где известные величины связаны с неизвестными, а нужно ответить на конкретный вопрос. Чтобы решить её, недостаточно подобрать подходящее действие: сначала нужно понять условие, представить связи между величинами в виде схемы, таблицы, выражения или уравнения, а затем составить план. Вычисления завершают проверкой и полным ответом с единицей измерения. Такой порядок помогает решать и короткие, и составные задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной или учебной ситуации, в которой известные данные связаны с неизвестными величинами, а требуется найти ответ на поставленный вопрос. Например, можно знать, сколько предметов было и сколько осталось, но не знать, сколько взяли. Это понятие помогает увидеть в обычном рассказе математическую задачу.
Условие задачи — сведения, известные из текста, и отношения между ними. В задаче про коробку это начальное и оставшееся количество карандашей, а также связь между ними. Отделяя условие от вопроса, легче понять, какие данные уже есть и чего пока не хватает.
Требование задачи — вопрос, на который необходимо ответить, точно указав искомую величину и её единицу измерения. Например, если спрашивают, сколько килограммов яблок продали, ответ должен выражать именно массу и быть записан в килограммах. Это помогает не подменить вопрос другим числом из условия.
Математическая модель — схема, таблица, выражение или уравнение, которые заменяют текст задачи и показывают связи между данными и неизвестным. Для задачи о взятых карандашах такой моделью будет выражение 36 − 19. Модель нужна, чтобы перейти от слов к вычислениям и не потерять смысл связей.
Сначала прочитай задачу целиком, не начиная считать после первого знакомого числа. Выдели известные и неизвестные величины, их значения и единицы измерения: так станет ясно, о чём именно говорится и что требуется найти. Если сразу выделять отдельные числа, можно пропустить важную связь или перепутать вопрос.
Затем установи, как величины связаны друг с другом. Краткая запись, схема, рисунок или таблица помогают расположить данные рядом и увидеть, какая часть известна, а какая неизвестна. Это особенно полезно, если текст длинный: наглядное представление показывает, какие сведения относятся к вопросу, а какие нужны для промежуточного шага.
План решения строй от вопроса задачи. Спроси себя, каких данных не хватает для ответа, и найди эти промежуточные величины; для каждой связи выбери действие или уравнение. Такой ход рассуждения объясняет порядок действий: сначала выполняется то, без чего невозможно найти искомое, а не то, чьё число просто первым встретилось в тексте.
После вычислений проверь результат по условию. Убедись, что найденное значение относится к нужной величине, выражено в подходящих единицах и не противоречит ситуации. Например, число проданных за день предметов не может быть отрицательным, а сумма за несколько дней обычно не меньше результата за один из них.
Запись решения заверши ответом, который прямо отвечает на вопрос. Если задача допускает несколько способов, можно составить разные выражения или модели и сравнить их: оба пути должны приводить к одному результату. Сравнение помогает понять, какие связи лежат в основе решения, а не просто повторить последовательность действий.
| Этап | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, установить связи между ними | Понимание ситуации и вопроса |
| Математическая модель | Составить схему, краткую запись, выражение или уравнение | Модель задачи |
| План решения | Определить последовательность действий и промежуточные результаты | Порядок вычислений |
| Выполнение решения | Выполнить действия или решить уравнение с пояснениями | Найденное значение неизвестного |
| Проверка и ответ | Проверить результат и сформулировать ответ с единицей измерения | Обоснованный ответ |
Пользуйся таблицей как последовательностью шагов: не переходи к вычислениям, пока не разобрался в связях величин. В простой задаче некоторые этапы можно выполнить мысленно, а в сложной лучше записать их отдельно. В конце вернись к вопросу и проверь, что ответ действительно на него отвечает.
В коробке было 36 карандашей. После того как несколько карандашей взяли, осталось 19. Сколько карандашей взяли? Искомое количество — часть от первоначального запаса, поэтому нужно выяснить, на сколько начальное число больше оставшегося.
Ответ: взяли 17 карандашей.
В первый день магазин продал 28 кг яблок, а во второй — в 3 раза больше. Сколько килограммов яблок продали за два дня? Сначала нужно найти неизвестное количество за второй день, потому что общую массу пока нельзя сложить без обоих слагаемых.
Ответ: за два дня продали 112 кг яблок.
После увеличения числа на 7 получили число, в 3 раза большее исходного. Найдите исходное число. Здесь удобно обозначить исходное число буквой: тогда его увеличение записывается как x + 7, а результат, который втрое больше исходного, — как 3x. Эти выражения описывают одно и то же число, поэтому их нужно приравнять.
Ответ: исходное число — 3,5.
Ученик начинает считать сразу после первого прочтения и не выясняет, что именно нужно найти. Так отдельное число из условия принимают за ответ или выбирают действие по случайному слову. Перед вычислениями сформулируй вопрос своими словами и проверь в конце, отвечает ли результат именно на него.
В краткой записи можно перепутать величины или их единицы измерения: например, записать массу как количество предметов. Это происходит, когда числа выписывают без названий и не связывают с ситуацией. Подписывай величины и единицы, а затем проверь, сопоставимы ли они в выбранном действии.
Действие может не соответствовать связи: например, при увеличении в несколько раз ученик складывает числа вместо умножения. Причина часто в том, что решение выбирают по одному слову, не представляя ситуацию. Перескажи связь без сокращений и проверь на простом примере, какое действие действительно даёт требуемый результат.
Ответ без проверки, единицы измерения или пояснения может оказаться неполным, даже если вычисления верны. Так бывает, когда решение заканчивают сразу после получения числа. Сверь результат с условием, укажи, что именно найдено, и добавь нужную единицу измерения.
Для решения задач нужны умение читать условие, выполнять арифметические действия с натуральными числами, дробями и величинами, а также переводить единицы измерения. Если забыть, например, соотношение единиц, вычисление может быть правильным, но ответ — неверным. Эти навыки помогают аккуратно работать с данными.
Математическая модель опирается на выражения, схемы, таблицы и уравнения. Выбор записи зависит от того, какие связи удобнее показать: последовательность действий, сравнение величин или неизвестное число. Чем лучше ты владеешь этими инструментами, тем проще подобрать понятный способ решения.
Навык решения задач используют в темах о движении, процентах, отношениях, зависимостях и геометрии. В каждой из них текст переводят в математическую модель, выполняют вычисления и проверяют, подходит ли результат к ситуации. Поэтому умение разбирать условие пригодится и при составлении собственных моделей.
Как понять, какое действие выполнить первым?
Сначала выясни, что требуется найти, и какие величины связаны с искомой. Затем определи, каких промежуточных данных не хватает, и выбери действие, которое выражает нужную связь. Не ориентируйся только на отдельные слова вроде «больше» или «осталось»: проверяй смысл всей ситуации.
Обязательно ли составлять краткую запись или схему?
Нет, для простой задачи можно обойтись без отдельной записи, если связи сразу понятны. Схема, таблица или краткая запись особенно полезны, когда данных несколько или задача решается в несколько шагов. Они помогают не перепутать величины и увидеть, чего не хватает.
Чем математическая модель отличается от самого условия?
Условие описывает ситуацию словами и содержит данные с вопросом. Математическая модель передаёт важные связи между этими данными и неизвестным с помощью выражения, уравнения, схемы или таблицы. Она упрощает задачу и помогает выбрать решение.
Как проверить, что полученный ответ верен?
Подставь найденное значение в условие или выполни обратное действие и проверь, восстанавливаются ли известные данные. Убедись, что результат отвечает именно на вопрос и записан в подходящих единицах. Также оцени, разумно ли число для описанной ситуации.
Когда задачу удобнее решать с помощью уравнения?
Уравнение удобно, когда неизвестная величина связана с известными несколькими действиями или когда связь можно коротко записать через равенство. Обозначь неизвестное буквой и переведи условие на язык равенств. После решения обязательно проверь найденное значение в исходной ситуации.
1.18. Решение задач
