"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Палетка — прозрачная пластинка с сеткой квадратов, которая помогает приближённо измерять площадь фигур с неровной границей. Если фигура составлена из целых клеток, достаточно сосчитать их и умножить на площадь одной клетки. Когда граница пересекает клетки, можно найти нижнюю и верхнюю оценки, а для более точного результата принять каждую граничную клетку примерно за половину. Чем мельче сетка, тем обычно точнее подсчёт.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов содержится в фигуре. Её измеряют квадратными единицами: например, квадратными миллиметрами (мм²), сантиметрами (см²) или метрами (м²). Это определение помогает сравнивать фигуры по тому, сколько места они занимают на плоскости.
Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу измерения. Если фигура состоит из нескольких таких квадратов, её площадь равна их числу; если квадрат имеет другую известную площадь, число квадратов нужно на неё умножить. Так подсчёт клеток превращается в измерение площади.
Палетка — прозрачная пластинка с нанесённой сеткой квадратов, которую накладывают на фигуру для приближённого подсчёта её площади. Прозрачность позволяет видеть контур под сеткой и различать клетки внутри фигуры и на её границе. Палетка удобна, когда форму нельзя просто разбить на прямоугольники или квадраты.
Приближённое значение площади — оценка площади, полученная подсчётом клеток, когда граница фигуры проходит не по линиям сетки. Такое значение не обязано совпадать с точной площадью, поскольку части клеток на границе оцениваются приблизительно. Его используют, когда точное вычисление затруднено.
Если фигура составлена из клеток целиком, её площадь можно найти подсчётом, потому что клетки не накладываются друг на друга и вместе покрывают всю фигуру. Сосчитанное количество показывает число единичных квадратов. Если площадь клетки равна s, то площадь фигуры равна числу клеток, умноженному на s. Например, 18 клеток площадью 1 см² дают 18 см².
Палетку накладывают так, чтобы сетка покрывала всю фигуру, а её контур хорошо просматривался. Положение сетки можно немного изменить: иногда так удобнее отделить клетки, лежащие внутри, от тех, которые пересекает граница. Саму фигуру при этом не сдвигают относительно измеряемого положения, а выбирают такое расположение палетки, при котором проще вести подсчёт и меньше риск пропустить клетку.
Сначала считают клетки, целиком лежащие внутри контура. Их площадь точно входит в площадь фигуры, поэтому это число даёт нижнюю оценку. Затем добавляют все клетки, которых касается фигура, в том числе пересечённые границей: полученная сумма даёт верхнюю оценку, потому что каждая такая клетка учтена целиком, хотя фигура занимает в ней лишь часть. Значит, настоящая площадь находится между этими оценками.
Чтобы получить более точное приближение, клетки, пересечённые границей, часто считают примерно за половину. Тогда складывают число целых клеток внутри фигуры и половину числа граничных клеток, а результат умножают на площадь одной клетки. Этот способ удобен, но не точен: в одних граничных клетках фигура может занимать больше половины, в других — меньше. Ошибки при подсчёте частично компенсируются, но полностью не исчезают.
Подсчёт клеток сначала даёт число клеток, а не ответ в квадратных сантиметрах или других единицах. Поэтому нужно знать площадь одной клетки и умножить на неё найденное число клеток с учётом выбранного способа оценки. Например, при площади клетки 0,25 см² оценка в 40 клеток соответствует 40 · 0,25 = 10 см². Единицы в ответе остаются квадратными, потому что умножается площадь клетки, а не длина.
| Что подсчитываем | Обозначение | Как получить оценку площади |
|---|---|---|
| Клетки целиком внутри фигуры | Nвнутр | Нижняя оценка: Nвнутр · s |
| Клетки, которых касается граница | Nгр | Их вклад учитывают дополнительно; для приближения берут примерно половину |
| Клетки внутри фигуры и граничные клетки вместе | Nвнутр + Nгр | Верхняя оценка: (Nвнутр + Nгр) · s |
| Оценка с учётом половины граничных клеток | Nвнутр + ½Nгр | Приближение: (Nвнутр + ½Nгр) · s |
| Площадь одной клетки и единицы измерения | s | Умножить число учтённых клеток на s и записать квадратные единицы |
Здесь s — площадь одной клетки, а Nвнутр и Nгр — количества клеток соответствующих типов. Сначала найдите нижнюю и верхнюю оценки, чтобы понять, в каких пределах находится площадь. Затем, если нужно приближённое значение, используйте половину граничных клеток и не забудьте записать единицы.
Фигура составлена из 18 клеток палетки, каждая из которых имеет площадь 1 см². Нужно найти площадь фигуры. Здесь граница совпадает с линиями клеток, поэтому все клетки целые и приближённо оценивать граничные части не требуется. Достаточно умножить число клеток на площадь одной клетки.
Ответ: 18 см².
Внутри контура фигуры лежат 24 целые клетки, а граница пересекает ещё 14 клеток. Требуется оценить площадь и указать возможные границы для её значения. Площадь одной клетки обозначим s, так как в условии её числовое значение не задано. Сначала найдём, сколько клеток приходится на нижнюю оценку, верхнюю оценку и приближённый подсчёт.
Ответ: площадь не меньше 24s и не больше 38s; приближённая оценка — 31s. Если площадь каждой клетки равна 1 см², эти значения составят соответственно 24 см², 38 см² и 31 см². При иной площади клетки каждое число клеток нужно умножить на её значение.
На палетке площадь клетки равна 0,25 см². Внутри контура находятся 31 целая клетка, граница проходит через 18 других клеток. Нужно оценить площадь в квадратных сантиметрах и сравнить точность с подсчётом по более мелкой сетке. Сначала найдём количество клеток с учётом половин граничных клеток, затем переведём его в см².
Ответ: приближённая площадь равна 10 см², а возможный диапазон по этим подсчётам — от 7,75 до 12,25 см². Более мелкая сетка обычно даёт более точный результат, потому что граница пересекает клетки меньшей площади и неопределённость каждого такого пересечения меньше. Однако итог всё равно остаётся приближённым.
Если посчитать только целые клетки и назвать результат точной площадью, часть фигуры, попавшая в граничные клетки, останется неучтённой. Так ошибаются, потому что целые клетки легко пересчитать, а доли клеток оценить сложнее. Проверьте, проходит ли контур по линиям сетки; если он пересекает клетки, результат по одним внутренним клеткам является только нижней оценкой.
Прибавление всех граничных клеток целиком обычно завышает площадь, так как фигура занимает в каждой из них лишь часть. Такой подсчёт допустим как верхняя оценка, но нельзя выдавать её за точное значение или обычное приближение без пояснения. Проверьте себя: верхняя оценка должна быть не меньше нижней, а граничные клетки должны быть обозначены отдельно.
Если каждую граничную клетку посчитать ровно за половину и объявить ответ точным, оценка будет неверно истолкована. Фигура может занимать в отдельной клетке почти всю площадь или совсем небольшую часть, поэтому половина — лишь удобное приближение. Чтобы проверить себя, сравните полученное число с нижней и верхней оценками: оно должно находиться между ними.
Ещё одна ошибка — забыть умножить количество клеток на площадь одной клетки или указать неподходящие единицы. Подсчёт клеток сам по себе сообщает число клеток, а не число квадратных сантиметров, если площадь клетки не равна 1 см². Перед ответом запишите умножение на площадь клетки и проверьте, что единицы площади, например см², указаны правильно.
Перед работой с палеткой полезно уметь находить площади квадрата и прямоугольника, считать клетки на сетке и переводить единицы площади. Эти знания помогают понять, почему квадрат служит мерой площади и как перейти от числа клеток к см² или м². Приближённый подсчёт пригодится для фигур с криволинейной границей, а также при оценке площадей по чертежам, картам и планам, когда точные вычисления затруднены.
Почему по палетке нельзя всегда найти точную площадь фигуры?
Если граница проходит через клетки сетки, часть клеток покрыта фигурой не целиком. По одному лишь подсчёту клеток нельзя точно определить площадь этих частей, поэтому результат получается приближённым.
Как выбрать, какие клетки считать граничными?
Граничными считают клетки, которые фигура покрывает не целиком: её граница пересекает клетку или проходит по её краю. Клетки, целиком расположенные внутри контура, считают отдельно.
Почему граничные клетки часто считают за половину?
Это удобный способ оценить, какая часть клетки в среднем занята фигурой. Но в конкретной клетке фигура может занимать больше или меньше половины, поэтому такой подсчёт даёт приближение, а не точное значение.
Как определить нижнюю и верхнюю оценки площади?
Для нижней оценки считают только клетки, целиком лежащие внутри фигуры. Для верхней — все клетки внутри фигуры вместе с теми, которых касается граница.
Как учесть площадь одной клетки и перевести ответ в нужные единицы?
Число клеток умножают на площадь одной клетки. Если площадь клетки дана в см², результат получится в см²; при переводе единиц используют соотношения между квадратными единицами, например 1 см² = 100 мм².
2.17. Приближённое вычисление площадей. Палетка
