2.35. Решение задач

Определения и обозначения

Задача — это описание того, какие величины известны, что требуется найти и как эти величины связаны. Иными словами, в задаче есть исходные сведения, вопрос и отношения, позволяющие перейти от сведений к ответу. Это определение помогает не путать задачу с набором чисел: каждое число имеет смысл только вместе с величиной, которую оно обозначает.

Условие задачи — сведения и отношения между величинами, заданные в тексте. Например, слова «взяли несколько карандашей» описывают изменение количества, а не просто называют число. Выделив условие, легче понять, какие данные можно использовать и как они связаны с искомым.

Вопрос задачи — указание, какую величину или ответ нужно получить. Он помогает определить, к чему должны привести вычисления: например, требуется найти оставшееся количество, цену или число предметов в каждой коробке. Если не сверяться с вопросом, можно получить верное промежуточное число, но не ответить на задачу.

Математическая модель задачи — запись условия с помощью выражений, уравнений, таблиц или схем. Такая запись показывает связи между величинами более наглядно, чем длинный текст. Модель нужна, чтобы выбрать действия или составить уравнение и не потерять важные данные.

Как это устроено

Сначала прочитай условие целиком, затем найди известные данные и искомую величину. Для каждого числа выясни, что оно обозначает, к чему относится и в каких единицах измеряется. Так ты не перепутаешь, например, общее количество и количество в одной части. После этого сформулируй вопрос своими словами и проверь, что понял его верно.

Неизвестное удобно обозначить буквой, если его нужно связать с другими величинами. Краткая запись, таблица или схема показывают, какие значения относятся друг к другу, что уже известно и что требуется найти. Это особенно полезно, когда в тексте несколько чисел или несколько этапов изменения величин. Такая опора помогает заметить связь, которую трудно удержать в памяти при чтении.

Способ решения выбирают по отношениям из условия. Если известны начальное количество и то, сколько взяли, остаток находят вычитанием; если известна цена нескольких одинаковых предметов, сначала можно узнать цену одного делением. Когда неизвестное входит в несколько связанных величин, удобно записать эти отношения выражениями и уравнением. Выбор действия по смыслу надёжнее, чем поиск подсказки в отдельном слове.

Когда план выбран, выполняй действия по порядку и записывай промежуточные результаты. После каждого шага полезно пояснить, что именно найдено: например, цена одной тетради или количество в первой коробке. Тогда можно увидеть, подходит ли результат для следующего действия. Если промежуточное значение не отвечает на главный вопрос, продолжи решение.

В конце вернись к условию и проверь, согласуется ли ответ со всеми данными. Сравни величины и единицы измерения: ответ в рублях не может быть количеством предметов. Проверка помогает обнаружить арифметическую ошибку или неверно выбранное действие. Записывай ответ словами и указывай единицы измерения, если они есть в задаче.

Этапы решения текстовой задачи

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда понятно, что получилось на предыдущем. Если при проверке ответ не подходит к условию, вернись к модели и выясни, верно ли выбрано действие. Для простой задачи некоторые этапы можно записать кратко, но пропускать смысловую проверку не стоит.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 18 карандашей. 7 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось? Нужно найти остаток после того, как часть предметов убрали. Поэтому из начального количества вычитаем взятое: 18 − 7 = 11. Ответ: осталось 11 карандашей.

1. Известно, что сначала в коробке было 18 карандашей, а затем 7 взяли. Искомое — число карандашей, которые остались.
2. Количество уменьшилось, значит, для нахождения остатка используем вычитание.
3. Вычисляем: 18 − 7 = 11. Проверяем смысл: 11 оставшихся и 7 взятых вместе составляют первоначальные 18.

Задача 2. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Сначала найдём стоимость одной тетради, потому что цена за три не отвечает на вопрос о пяти. 90 : 3 = 30 рублей — цена одной тетради. Теперь умножим эту цену на 5: 30 · 5 = 150 рублей. Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей.

1. Данные относятся к одинаковым тетрадям, поэтому цена каждой одна и та же. Требуется найти стоимость пяти, зная стоимость трёх.
2. Сначала делим общую стоимость на количество тетрадей: 90 : 3 = 30 рублей. Так узнаём цену одной тетради.
3. Умножаем цену одной тетради на 5: 30 · 5 = 150 рублей. Проверяем: при цене 30 рублей три тетради стоят 90 рублей, а пять — 150 рублей.

Задача 3. В двух коробках 54 детали. В первой деталей в 2 раза больше, чем во второй. Сколько деталей в каждой коробке? Обозначим через x число деталей во второй коробке. Тогда в первой находится 2x деталей, а всего — x + 2x. Составим уравнение: x + 2x = 54, откуда 3x = 54 и x = 18. Значит, во второй коробке 18 деталей, а в первой 2 · 18 = 36. Ответ: 36 деталей в первой коробке и 18 во второй.

1. Искомые количества неизвестны, но их сумма равна 54, а первая коробка содержит вдвое больше деталей, чем вторая.
2. Пусть во второй коробке x деталей. Тогда в первой — 2x, а равенство для общего количества имеет вид x + 2x = 54.
3. Решаем: 3x = 54, x = 18. Находим количество в первой коробке: 2 · 18 = 36.
4. Проверяем условие: 18 + 36 = 54, и 36 в 2 раза больше 18. Значит, оба количества подходят.

Типичные ошибки

Вычислять по отдельным числам, не выяснив, что они обозначают, — значит потерять смысл условия. Так можно сложить величины, которые нельзя складывать, или ответить не на тот вопрос. Ошибку допускают, когда торопятся перейти к вычислениям; проверь себя, подписав значение каждого числа и назвав искомое.

Выбирать действие только по словам в условии рискованно: похожие слова могут описывать разные отношения. Например, слово «больше» само по себе не всегда означает, что нужно сложить числа. Прочитай ситуацию целиком и объясни, что будет означать результат каждого действия; если объяснить его нельзя, способ выбран неосмысленно.

Игнорирование единиц измерения приводит к неверным сравнениям и вычислениям. Нельзя складывать, например, метры и сантиметры, пока не выражены одинаковыми единицами. Эту ошибку допускают, когда записывают только числа; проверяй обозначения величин и при необходимости сначала переводи их в общие единицы.

Записать результат без проверки — значит не заметить, что число может не отвечать на вопрос или противоречить условию. Иногда вычисление выполнено верно, но найдено промежуточное значение, например цена одной вещи вместо цены нескольких. Сверь ответ с вопросом, подставь его в отношения из условия и убедись, что единицы измерения указаны правильно.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны умения выполнять арифметические действия, соблюдать порядок действий и понимать отношения между величинами. Без них нельзя надёжно перевести текст в вычисления и проверить результат. Составление математической модели пригодится при изучении уравнений и пропорций, а также в задачах на движение, работу и проценты. В этих темах меняются величины и формулы, но остаётся общий приём: выделить данные, установить связи и проверить ответ.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Установи связи между величинами, а не ориентируйся только на отдельные слова.
• Представь условие краткой записью, схемой, таблицей или уравнением.
• Выбери способ решения, который отражает смысл условия.
• Проверь, что ответ подходит к задаче.
• Запиши ответ с нужными единицами измерения.