2.36. Деление круглых чисел

Определения и обозначения

Круглые числа — числа, оканчивающиеся одним или несколькими нулями. Один конечный ноль означает, что число делится на 10, два — на 100, три — на 1000. Чем больше нулей в конце, тем на более высокую разрядную единицу число делится без остатка. Это помогает заметить, какие множители можно сократить при вычислении.

Деление круглых чисел — деление, при котором делимое и делитель можно представить как произведения числа и степени десяти. Например, 4800 = 48 · 100, а 60 = 6 · 10. Такая запись показывает, какие части чисел связаны с нулями и могут быть сокращены. Приём нужен, чтобы заменить громоздкие числа более удобными.

Общий множитель 10 — число, на которое одновременно делятся делимое и делитель. Если оба числа имеют конечный ноль, таким множителем может быть 10; если у обоих есть по два нуля — 100. Сокращение на общий множитель упрощает числа, но не меняет частное. Поэтому сначала ищут общие нули, а не удаляют их произвольно.

Частное — результат деления одного числа на другое. Оно остаётся тем же, если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое число. Например, отношение 4800 : 60 равно отношению 480 : 6, потому что оба исходных числа разделили на 10. Это свойство объясняет, почему сокращение нулей допустимо.

Как это устроено

Деление можно понимать как поиск числа, которое при умножении на делитель даёт делимое. Если делимое и делитель одновременно уменьшить в одинаковое число раз, искомое число не изменится: оба участника отношения изменились одинаково. Например, в записи 4800 : 60 оба числа делятся на 10, поэтому вместо неё можно вычислять 480 : 6. Нули здесь не исчезают сами по себе: за сокращением стоит деление обоих чисел на один множитель.

Количество нулей для сокращения выбирают по числу с меньшим их количеством. Посчитай только нули в конце каждого числа: если у делимого их три, а у делителя два, общих для сокращения может быть не больше двух. Тогда оба числа делят на 100, и у делимого останется один конечный ноль. Нельзя продолжать сокращение, если у одного из чисел уже нет конечного нуля, потому что следующий общий множитель 10 для них отсутствует.

Деление на 10, 100 и другие разрядные единицы связано с разрядным составом числа. При делении натурального числа на 10, 100 или 1000 его значение уменьшается соответственно в 10, 100 или 1000 раз; если оно оканчивается нужными нулями, результат записывается без них. В десятичной записи деление на 10 переносит запятую на один знак влево, на 100 — на два, на 1000 — на три. Этот смысл разрядов объясняет, почему удаление двух конечных нулей соответствует делению на 100.

Вычисление удобно выполнять в одном порядке: сначала посчитать общие конечные нули, затем разделить оба числа на соответствующую степень десяти, после этого разделить полученные числа. Например, в выражении 72 000 : 300 общими являются два нуля, значит, сокращаем на 100. Получаем 720 : 3 и вычисляем результат. В конце умножаем частное на первоначальный делитель: произведение должно совпасть с первоначальным делимым.

Если у делителя больше конечных нулей, чем у делимого, правило остаётся тем же: сокращают только общую часть. Например, в 420 : 700 у первого числа один конечный ноль, а у второго — два, поэтому оба числа можно разделить только на 10. Получится 42 : 70, а не 42 : 7. Оставшийся ноль делителя нельзя убрать отдельно: это было бы делением только одного числа и изменило бы частное.

Приёмы деления круглых чисел

В таблице показано, как выбрать общий множитель и какое выражение получится после сокращения. Смотри на число конечных нулей у обоих участников деления и ориентируйся на меньшее их количество. Затем выполни деление полученных чисел и, если нужно, проверь результат умножением.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 840 : 10. Здесь делитель — разрядная единица, поэтому можно сразу использовать правило деления на 10. В числе 840 один конечный ноль, и при делении на 10 он убирается из записи результата. Проверим, что полученное число действительно в десять раз меньше исходного.

1. Делим 840 на 10.
2. Убираем один конечный ноль: 840 : 10 = 84.
3. Проверяем: 84 · 10 = 840.

Ответ: 84. Проверка верна, потому что произведение частного и делителя равно делимому. При делении на разрядную единицу результат можно найти по записи числа, если в нём достаточно конечных нулей. Этот способ не следует путать с сокращением общего множителя: здесь делитель уже равен 10.

Задача 2. Вычислите 4800 : 60. У делимого два конечных нуля, у делителя один, значит, общий множитель 10 есть. Уберём по одному нулю, то есть разделим оба числа на 10. Оставшееся деление 480 : 6 проще исходного и даёт то же частное.

1. Находим один общий конечный ноль и делим оба числа на 10.
2. Получаем 4800 : 60 = 480 : 6.
3. Выполняем деление: 480 : 6 = 80.
4. Проверяем: 80 · 60 = 4800.

Ответ: 80. Результат подтверждён обратным действием. После сокращения у делимого остался конечный ноль, но у делителя — нет, поэтому дальнейшее сокращение на 10 невозможно. Важно считать общие нули, а не все нули, которые видны в записи делимого.

Задача 3. Вычислите 72 000 : 300 и проверьте результат умножением. У делимого три конечных нуля, а у делителя два, поэтому общих нулей два. Разделим оба числа на 100 и продолжим вычисление с числами 720 и 3. Такой выбор сохраняет частное и делает деление удобным.

1. Делим делимое и делитель на 100: 72 000 : 300 = 720 : 3.
2. Делим 720 на 3 и получаем 240.
3. Проверяем умножением: 240 · 300 = 72 000.

Ответ: 240. Проверка показывает, что частное найдено верно. Сократили именно два общих нуля, то есть разделили оба исходных числа на 100. Третий ноль делимого не нужно было убирать: у делителя столько нулей не было.

Типичные ошибки

Если убрать нули только у делимого, а делитель оставить прежним, частное изменится. Так поступают, когда воспринимают ноль как лишний знак, а не как признак деления на 10. Проверить себя можно обратным действием: умножь найденное частное на исходный делитель и сравни с исходным делимым. Если числа не совпали, возможно, изменили только один участник деления.

Нельзя убирать у делимого и делителя разное количество нулей. В таком случае числа разделили на разные множители, и равенство частных больше не гарантируется. Ошибка бывает незаметна, потому что оба числа после преобразования выглядят проще. Перед вычислением запиши, на что делишь каждое число: множители должны совпадать.

Нельзя сокращать больше нулей, чем есть у числа с меньшим количеством конечных нулей. Например, если у делимого два нуля, а у делителя один, общее сокращение ограничено одним нулём. Иногда ученик продолжает убирать нули, ориентируясь только на делимое. Сосчитай нули в обоих числах и остановись, когда хотя бы у одного из них они закончатся.

После сокращения частное не обязано оканчиваться нулём. Нули удаляются из делимого и делителя, а не приписываются к ответу. Ожидание нуля в результате возникает из-за того, что исходные числа круглые. Проверь результат умножением на делитель: именно совпадение произведения с делимым, а не вид последней цифры, подтверждает ответ.

Связь с другими темами

Для работы с круглыми числами нужны таблица умножения, понимание разрядного состава натуральных чисел и умение делить на 10, 100 и другие разрядные единицы. Сокращение опирается на основное свойство частного: делимое и делитель можно разделить на одно и то же ненулевое число. Этот приём помогает быстрее выполнять устные вычисления и письменное деление. Он также полезен в задачах, где встречаются большие круглые числа.

Что запомнить

• Круглые числа оканчиваются нулём или несколькими нулями.
• Чтобы упростить деление, дели делимое и делитель на один и тот же множитель.
• Сокращать можно только общие конечные нули.
• Количество убираемых нулей не может превышать их количество в числе с меньшим числом конечных нулей.
• После сокращения выполни деление полученных чисел.
• Проверить частное можно умножением частного на делитель.