Турнир 3. Отважный путешественник

Определения и обозначения

Маршрут — последовательность участков пути, которые проходит путешественник от начала до цели. Его можно показать схемой из точек и соединяющих их дорог или записать в таблицу по этапам. Такое представление помогает увидеть порядок движения и не пропустить участок.

Расстояние — длина пройденного пути; обычно его обозначают S. Если путешественник прошёл несколько участков, общий путь находят сложением их длин: Sобщ = S₁ + S₂ + …. Это нужно, чтобы учитывать весь маршрут, а не только отдельную его часть.

Время движения — продолжительность прохождения маршрута или отдельного участка; его обозначают t. Время всего пути получают сложением времени этапов, если они идут один за другим и остановки отдельно не учитываются. Это позволяет узнать, сколько длится путешествие целиком.

Скорость движения — расстояние, пройденное за единицу времени; её обозначают v. Скорость находят по формуле v = S / t, расстояние — S = v × t, время — t = S / v. Эти формулы помогают найти неизвестную величину, если две другие известны.

Как это устроено

Чтобы превратить рассказ о путешествии в математическую задачу, сначала раздели путь на этапы: например, дорога до моста и путь от моста до лагеря. Для каждого этапа выпиши известные величины, а неизвестное обозначь знаком вопроса. Так становится понятно, какие данные относятся друг к другу и какую формулу можно применить.

Общий путь и общее время находят сложением потому, что маршрут состоит из отдельных частей, пройденных последовательно. Длины не заменяют продолжительность движения, а время не заменяет расстояние: это разные величины. Поэтому полезно составить две отдельные суммы — одну для расстояний, другую для времени.

Связь между скоростью, расстоянием и временем следует из смысла скорости: она показывает, сколько единиц расстояния приходится на одну единицу времени. Если известны путь и время, деление даёт расстояние за единицу времени: v = S / t. Если известны скорость и время, умножение показывает весь пройденный путь, а деление расстояния на скорость позволяет найти продолжительность движения.

На разных участках путешественник может двигаться с разной скоростью, например из-за покрытия дороги или подъёма. Тогда средняя скорость всего пути — не обязательно среднее арифметическое скоростей этапов: участки могут отличаться и по длине, и по времени. Нужно сложить весь путь и всё время, а затем разделить первое на второе: vср = Sобщ / tобщ.

Проверка помогает заметить ошибки до того, как будет записан ответ. Сопоставь единицы: если расстояние дано в километрах, а время в минутах, переведи их так, чтобы скорость выражалась, например, в километрах в час. Затем оцени порядок результата и проверь, учтены ли все участки и условия движения.

Величины, используемые при разборе маршрута

Таблица помогает держать рядом известные данные, обозначения и смысл вычислений. Заполняй её отдельно для каждого участка, а строку об общем маршруте — после сложения нужных величин. Для средней скорости используй общий путь и общее время, а не показатели одного этапа.

Разбор задач

Найти скорость

Путешественник прошёл 18 км за 3 часа. Нужно найти скорость движения. Из условия известны расстояние и время, поэтому выбираем формулу скорости, а не формулу пути или времени.

1. Записываем данные: S = 18 км, t = 3 ч. Требуется найти v.
2. Применяем формулу v = S / t. Получаем v = 18 / 3 = 6 км/ч.
3. Проверяем единицу: километры делим на часы, значит ответ выражается в километрах в час. Ответ: скорость путешественника — 6 км/ч.

Два участка и средняя скорость

Первый участок длиной 12 км пройден за 3 часа, второй длиной 20 км — за 4 часа. Требуется найти общий путь, общее время и среднюю скорость всего маршрута. Сначала объединяем однотипные данные, а среднюю скорость вычисляем только после этого.

1. Складываем длины: Sобщ = 12 + 20 = 32 км. Это расстояние от начала первого до конца второго участка по пройденному пути.
2. Складываем время движения: tобщ = 3 + 4 = 7 ч. Этапы проходили один за другим, поэтому их продолжительность суммируется.
3. Находим среднюю скорость: vср = 32 / 7 = 4 4/7 км/ч, приблизительно 4,57 км/ч. Ответ: общий путь — 32 км, общее время — 7 ч, средняя скорость — примерно 4,57 км/ч.

Выбор пути по схеме

Путешественник выбирает дорогу до лагеря; часть дорог односторонние, а некоторые заканчиваются тупиком. Участки имеют заданные длины и скорости, поэтому требуется найти кратчайший допустимый путь и его продолжительность. Здесь сначала важно установить, какие варианты вообще можно пройти по правилам.

1. Изобрази перекрёстки точками, дороги — линиями со стрелками для одностороннего движения. Подпиши длину и скорость каждого участка, чтобы данные не перепутались.
2. Проследи возможные пути от старта к лагерю. Исключи варианты, ведущие в тупик или требующие двигаться против стрелки, затем сложи длины оставшихся маршрутов.
3. Кратчайшим выбери путь с наименьшей суммой расстояний. Для его времени найди время каждого участка по формуле t = S / v и сложи результаты, предварительно согласовав единицы; если нужно сравнить скорость прохождения вариантов, сравни их время при одинаковой цели.

Типичные ошибки

Складывать скорости разных участков вместо расстояний или времени — ошибка, возникающая, когда все числа из условия воспринимаются как одинаковые. Но скорость, длина и продолжительность движения отвечают на разные вопросы. Проверь подписи к каждому числу и складывай только величины одного вида, например километры с километрами.

Среднюю скорость иногда находят как среднее арифметическое скоростей на этапах, не учитывая длительность этих этапов. Такой способ подходит не всегда, потому что на медленном участке путешественник мог провести гораздо больше времени. Надёжная проверка — сложить общий путь и общее время, а затем разделить путь на время.

Смешение километров с метрами или часов с минутами приводит к неверному результату даже при правильно выбранной формуле. Обычно это происходит, когда единицы не выписывают рядом с числами. Перед вычислениями переведи данные к согласованным единицам и проследи, чтобы единица ответа получилась из единиц формулы.

Можно выбрать кратчайшую дорогу, хотя в задаче требуется самый быстрый путь, или включить в маршрут дорогу, по которой нельзя пройти. Эти ошибки появляются, если сравнивать только длины или не прочитать условные обозначения схемы. Сначала уточни критерий выбора и допустимость каждого варианта, затем сравни нужные показатели.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны знания единиц длины и времени, их перевода, сложения и сравнения величин. Также важно уметь читать схемы и таблицы: они показывают, как связаны участки маршрута и какие данные относятся к каждому из них. Если единицы не совпадают, сначала приведи их к общему виду.

Разбор маршрутов пригодится в задачах на движение, при составлении реальных планов поездок и работе с масштабом. В задачах на перебор он помогает сравнивать варианты и последовательно исключать неподходящие. Такой подход развивает умение не гадать, а проверять каждый возможный путь по условиям.

Путешествие — пример математического моделирования: сюжетную ситуацию переводят в схему, таблицу, формулы или последовательность вычислений. Модель оставляет важные для задачи сведения и помогает увидеть, как получить ответ. После вычислений результат нужно соотнести с исходной ситуацией.

Что запомнить

• Маршрут удобно разбивать на отдельные участки.
• Общий путь равен сумме длин всех пройденных участков.
• Общее время равно сумме времени движения по участкам.
• Скорость находят делением расстояния на время.
• Расстояние находят умножением скорости на время.
• Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё время движения.
• Перед вычислениями все величины нужно выразить в согласованных единицах.