2.1. Порядок

Определения и обозначения

Отношение порядка — правило, позволяющее сравнивать числа и располагать их в определённой последовательности. Оно нужно, чтобы упорядочивать результаты счёта и вычислений, выбирать наибольшее или наименьшее значение. Например, можно выстроить несколько чисел от меньшего к большему. Для этого сначала выясняют, какое число меньше каждого из остальных.

Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Оно помогает решить, какое число поставить раньше при упорядочивании или какое значение выбрать как наибольшее. Сравнивать можно по положению чисел на луче, по счёту или по разрядному составу. Результат сравнения записывают с помощью специального знака.

Знаки сравнения — обозначения «>», «<» и «=», показывающие результат сравнения. Запись 7 > 4 читают «семь больше четырёх», а 2 < 5 — «два меньше пяти». Знак равенства в записи 6 = 6 означает, что числа имеют одинаковое значение. Знаки нужны, чтобы коротко и точно записывать отношения между числами.

Числовой луч — изображение чисел, на котором большее число расположено правее меньшего. На луче отмечают начало, обычно ноль, и единичные деления, соответствующие натуральным числам. Поэтому положение точки помогает увидеть порядок чисел без длинных пояснений. Числовой луч также позволяет проверить, верно ли поставлен знак сравнения.

Как это устроено

Любые два натуральных числа можно сравнить: при счёте одно из них встретится раньше, позже или в тот же момент, если числа одинаковы. Если первое число встретилось раньше второго, оно меньше; если позже — больше. Для многозначных чисел тот же порядок можно установить по разрядам. Так сравнение всегда приводит к одному из трёх результатов: «больше», «меньше» или «равно».

На числовом луче числа расположены в том же порядке, в каком их называют при счёте. Чтобы получить следующее натуральное число, от предыдущей отметки двигаются на одно деление вправо. Поэтому точка, стоящая правее другой, соответствует большему числу, а точка левее — меньшему. Например, отметка 5 находится правее отметки 2, значит, 5 > 2.

Если поменять числа в сравнении местами, отношение между ними не исчезает, но его направление меняется. Если 9 больше 4, то 4 меньше 9: запись 9 > 4 превращается в 4 < 9. Это объясняется тем, что первое число в новой записи теперь меньше второго. Равенство устроено иначе: при перестановке частей значение не меняется, поэтому из 6 = 6 получается 6 = 6.

Чтобы расположить числа по возрастанию, сначала выбирают наименьшее, затем наименьшее из оставшихся и так далее. Например, для чисел 3, 8, 5 результат будет 3, 5, 8; при убывании тот же порядок читают справа налево: 8, 5, 3. Порядковый номер показывает место числа в выбранной последовательности: в записи по возрастанию первым будет наименьшее. Если числа одинаковы, они занимают равные места по значению, хотя в списке могут стоять рядом.

Свойство транзитивности позволяет сравнить числа через промежуточное значение. Если a > b, а b > c, то a больше c, потому что при переходе от c к b и затем к a мы каждый раз движемся к большему числу. Поэтому выполняется a > c. Такое рассуждение удобно, когда прямое сравнение не дано, но известны отношения между соседними числами.

Сравнение и порядок чисел

Сначала найди в таблице нужное отношение и посмотри на знак в столбце «Запись». Затем сверь его смысл с расположением точек на числовом луче. Для упорядочивания нескольких чисел обрати внимание, в какую сторону движется последовательность.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа восемь и двенадцать, записав результат с помощью знака сравнения. Чтобы выбрать знак, можно представить числа на числовом луче или сравнить их по счёту. Двенадцать при счёте встречается после восьми, значит, оно больше. Запишем числа в том же порядке, в каком они даны в условии.

1. Определяем, какое число меньше: 8 меньше 12.
2. Широкую часть знака направляем к большему числу 12, а остриё — к меньшему числу 8.
3. Получаем запись 8 < 12 и проверяем её по числовому лучу: 8 находится левее 12.

Ответ: 8 < 12.

Задача 2. Расположить числа 17, 9, 24, 12 по возрастанию и по убыванию. Чтобы не пропустить число и не перепутать направление, сначала упорядочим значения от меньшего к большему. Затем прочитаем получившийся список в обратном порядке. Проверка по числовому лучу должна показывать движение вправо при возрастании.

1. Среди чисел 17, 9, 24, 12 наименьшее — 9, поэтому ставим его первым.
2. Из оставшихся чисел 12, 17, 24 наименьшее — 12; затем идут 17 и 24.
3. По возрастанию получаем 9, 12, 17, 24. Для убывания записываем их от большего к меньшему: 24, 17, 12, 9.

Ответ: по возрастанию — 9, 12, 17, 24; по убыванию — 24, 17, 12, 9.

Задача 3. Вставить знак сравнения: 38 __ 3□, где вместо квадрата нужно выбрать цифру, чтобы сравнение было верным. Здесь цифра □ может обозначать любую цифру от 0 до 9, поэтому справа может получиться число от 30 до 39. Сначала сравним десятки, а затем — единицы, если десятки окажутся одинаковыми. Возьмём цифру 7: получим 38 и 37.

1. В обоих числах по три десятка, значит, сравниваем цифры единиц: 8 и 7.
2. Так как 8 > 7, число 38 больше 37.
3. Подставляем цифру 7 и знак >: 38 > 37. Можно выбрать и другую цифру, если подобрать к ней соответствующий знак.

Ответ: например, □ = 7 и 38 > 37.

Типичные ошибки

Перепутать знаки «>» и «<» легко, если ориентироваться только на их форму. Проверяй, что остриё направлено к меньшему числу, а широкая часть — к большему: в записи 5 < 8 остриё обращено к 5. Можно также прочитать запись словами и проверить, соответствует ли знак фразе «пять меньше восьми». Если чтение не совпало, знак нужно развернуть.

Сравнение многозначных чисел по последней цифре даёт неверный результат, потому что единицы не всегда определяют величину числа. Например, 41 больше 39, хотя 1 меньше 9: сначала нужно сравнить десятки. Сравнивай числа слева направо, начиная со старшего разряда. Проверка: первый различающийся разряд должен показывать, какое число больше.

При записи по возрастанию иногда начинают с наибольшего числа, путая возрастание с убыванием. Возрастание означает, что каждое следующее число не меньше предыдущего, поэтому список идёт от малого к большому. Проверь первый и последний элементы: первый должен быть наименьшим, последний — наибольшим. Для убывания порядок будет обратным.

Из записи a > b нельзя сделать вывод b > a: после перестановки чисел нужно изменить знак на противоположный. Верное обратное утверждение — b < a, поскольку b меньше a. Ошибку можно проверить, прочитав запись словами и сверив её с исходным сравнением. Если числа поменялись местами, а знак остался прежним, запись, скорее всего, неверна.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел нужно уметь продолжать натуральный ряд, считать и понимать разрядный состав многозначного числа. Числовой луч помогает представить порядок чисел на изображении. Позже отношения «больше» и «меньше» используют при записи неравенств, сравнении величин и упорядочивании результатов вычислений. Те же идеи применяются на координатной прямой, в системах неравенств и при сравнении выражений с переменными.

Что запомнить

• Любые два числа можно сравнить.
• Знак «>» означает «больше», знак «<» — «меньше», знак «=» — «равно».
• На числовом луче большее число расположено правее меньшего.
• При перестановке чисел знак «>» меняется на «<».
• Числа по возрастанию записывают от меньшего к большему.
• Числа по убыванию записывают от большего к меньшему.
• Если a > b и b > c, то a > c.