3.11. Выражение. Значение выражения. Равенство

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например 8 + 3 · 2. В ней указано, какие вычисления нужно выполнить. Такая запись должна иметь смысл: например, деление на ноль недопустимо.

Буквенное выражение — запись, содержащая числа, буквы и знаки действий, например 4a − 1. Буква может обозначать любое число или число, значение которого задано условием. Благодаря буквам одна запись подходит для разных вычислений.

Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий, указанных в записи. Например, значение выражения 5 + 2 равно 7. Понятие значения помогает описать результат вычислений, не переписывая весь ход решения.

Равенство — запись, в которой два выражения соединены знаком «=». Левая и правая части могут выглядеть по-разному, поэтому для проверки нужно найти их значения. Равенство верно, если значения частей одинаковы, и неверно, если они различаются.

Как это устроено

Числовое выражение составляют из чисел и знаков действий, располагая их так, чтобы запись задавала понятное вычисление. Например, из чисел 6 и 4 можно составить 6 + 4 или 6 · 4. Не всякая комбинация знаков имеет смысл: выражение 6 : 0 не задаёт допустимого вычисления, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому перед вычислением полезно проверить, можно ли выполнить каждое действие.

Чтобы найти значение числового выражения, действия выполняют не просто по порядку записи, а по правилам приоритета. Сначала вычисляют то, что заключено в скобки: скобки показывают, какую часть нужно рассмотреть первой. Затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, например сложение и вычитание, их выполняют слева направо.

Значение буквенного выражения находят, когда известны значения входящих в него букв. Вместо буквы записывают соответствующее число, а затем вычисляют получившееся числовое выражение. Скобки при подстановке сохраняют, потому что они указывают, какие действия связаны между собой. После подстановки действуют по тем же правилам порядка действий, что и в числовом выражении.

Буквенное выражение может давать разные результаты при разных значениях букв: буква задаёт число, от которого зависит вычисление. Например, в выражении a + 2 при a = 3 получится 5, а при a = 7 — 9. Иногда подстановка делает запись недопустимой. Так происходит, например, в выражении 5 : (a − 2), если a = 2: знаменатель становится нулём, и значение выражения не определено.

Равенство проверяют, находя значения его левой и правой частей. Каждую часть вычисляют отдельно, соблюдая порядок действий, а затем сравнивают результаты. Если результаты совпали, равенство верно; если нет — неверно. Проверка нужна потому, что одинаковые на вид части не гарантируют равенства, а разные записи могут иметь одно и то же значение.

Виды записей и способы работы с ними

Сначала определите, с какой записью вы имеете дело: это подскажет, нужно ли подставлять числа или сравнивать две части. Затем проверьте, допустимы ли все действия, и соблюдайте порядок вычислений. Таблица помогает быстро выбрать способ работы, но не заменяет сами вычисления.

Разбор задач

Найдите значение выражения 18 − 2 · 5. В записи есть вычитание и умножение, поэтому нельзя сразу выполнять действия слева направо. Умножение имеет более высокий приоритет, чем вычитание. Сначала найдём произведение, а затем выполним оставшееся действие.

1. Вычислим произведение: 2 · 5 = 10. Это действие выполняется раньше вычитания по правилу порядка действий. В выражении остаётся 18 − 10.

2. Вычтем: 18 − 10 = 8. Других действий в записи не осталось. Ответ: 8.

Найдите значение выражения 3a + 7 при a = 4. Буква a означает число, заданное условием, поэтому заменим её на 4. Скобки вокруг подставленного числа здесь не обязательны, так как это положительное число и умножение выполняется раньше сложения. Затем вычислим произведение и сумму.

1. Подставим значение буквы: 3a + 7 = 3 · 4 + 7. Буква заменена числом, а знаки действий сохранены. Теперь перед нами числовое выражение.

2. Сначала умножим: 3 · 4 = 12. Затем прибавим 7: 12 + 7 = 19. Ответ: 19.

Определите, верно ли равенство 2(x + 3) = 2x + 6 при x = 5. Проверять нужно обе части отдельно: левая часть содержит скобки, а правая — умножение и сложение. Если после подстановки получится одно и то же число, равенство будет верным. Сравнение только внешнего вида записей не заменяет вычисление.

1. Подставим x = 5 в левую часть: 2(5 + 3). Сначала вычислим в скобках: 5 + 3 = 8. Затем умножим: 2 · 8 = 16.

2. Подставим x = 5 в правую часть: 2 · 5 + 6. Сначала умножим: 2 · 5 = 10, затем прибавим 6 и получим 16. Значения обеих частей совпали, поэтому равенство верно.

Типичные ошибки

Иногда действия выполняют строго слева направо и в выражении 18 − 2 · 5 сначала вычитают 18 − 2. Так забывают, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Ошибка возникает из-за привычки читать запись подряд. Проверяйте, какие действия нужно выполнить раньше, и отмечайте их до вычислений.

При подстановке числа вместо буквы можно потерять скобки, хотя они задают порядок действий. Например, при x = −2 выражение 3(x + 1) превращается в 3(−2 + 1), а не в 3 · −2 + 1. Ошибка меняет смысл записи и приводит к другому результату. Чтобы проверить себя, заменяйте букву числом в скобках, если подставляемое значение может повлиять на порядок действий.

Буквенное выражение не всегда определено при любом значении буквы. Например, в выражении 4 : (a − 1) при a = 1 знаменатель равен нулю, поэтому вычисление выполнить нельзя. Эту ошибку допускают, когда сразу подставляют числа, не проверив допустимость действий. Перед вычислением найдите знаменатели и убедитесь, что они не обращаются в ноль.

Нельзя объявлять равенство верным только потому, что его части выглядят похоже или имеют одинаковое число действий. Даже похожие записи могут давать разные результаты, а записи разного вида — одинаковые. Ошибка появляется, когда внешний вид принимают за доказательство. Вычислите обе части отдельно и только потом сравните их значения.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны правила арифметических действий и знание порядка их выполнения. Скобки позволяют задавать, какую часть вычислять первой. Если эти правила усвоены, запись можно переводить в последовательность понятных шагов.

Выражения и их значения встречаются при изучении формул и преобразовании записей. Формула связывает величины с помощью букв, а вычислить её можно после подстановки известных чисел. Эти же умения помогают упростить выражение, не изменяя его значения.

Проверка равенств помогает обосновывать вычисления и проверять решения задач. Сравнив левую и правую части, можно обнаружить ошибку или подтвердить результат. Позже такое умение пригодится при решении уравнений, где требуется найти неизвестное число.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий.
• Буквенное выражение содержит одну или несколько букв.
• Значение выражения получают, выполняя указанные действия.
• При вычислениях соблюдают порядок действий.
• Значение буквенного выражения находят после подстановки значений букв.
• Равенство верно, когда значения его левой и правой частей одинаковы.
• Делить на ноль нельзя.