3.2. Замкнутые и незамкнутые кривые

Определения и обозначения

Замкнутая кривая — линия, у которой начало и конец совпадают. Если провести пальцем по окружности, можно обойти её и вернуться туда, откуда начали; так же устроен контур многоугольника, если все его стороны соединены. Это определение помогает узнать замкнутую линию независимо от её формы.

Незамкнутая кривая — линия, у которой начало и конец не совпадают. У дуги окружности есть два конца, как и у ломаной, вершины которой не соединены в замкнутый контур. Это понятие нужно, чтобы отличать линии, оставляющие свободные концы, от тех, которые образуют границу.

Внутренняя область замкнутой кривой — часть плоскости, ограниченная этой кривой и находящаяся внутри линии. Например, у окружности внутренняя область расположена в пределах её контура, но не включает сам контур. Такое различие помогает точно говорить о точках, лежащих внутри фигуры.

Внешняя область замкнутой кривой — часть плоскости за пределами линии, то есть снаружи ограниченного ею контура. Она не совпадает ни с самой кривой, ни с внутренней областью. Понятие нужно, чтобы различать три положения точки: внутри, снаружи или на границе.

Как это устроено

Чтобы проверить, замкнута ли кривая, выбери на ней точку и мысленно начни движение по линии. Проследи её целиком, не перескакивая через промежутки и не дорисовывая отсутствующие части. Если путь приводит обратно в выбранную точку, начало и конец совпадают; если движение заканчивается в другом месте, кривая незамкнутая. Такой способ превращает распознавание в проверку конкретного признака.

Совпадение начала и конца — главный признак, потому что именно оно показывает, образует ли линия непрерывный контур. Кривая может изгибаться, быть вытянутой или иметь несколько участков, и это не мешает ей вернуться к началу. Даже самопересечение не меняет того, что концы могут совпадать: при проверке нужно пройти всю линию и не спутать место пересечения с концом. Поэтому одной только формы недостаточно, чтобы сделать вывод.

Замкнутая кривая отделяет точки, расположенные внутри, от точек снаружи: чтобы перейти из одной области в другую, нужно пересечь границу. Сама граница при этом остаётся линией, а не частью одной из этих областей. Например, точка на окружности лежит на кривой, а не внутри круга. Это помогает правильно классифицировать точки на рисунке.

У незамкнутой кривой остаются два разных конца, поэтому линия не образует полного контура, который отделил бы внутреннюю часть плоскости от внешней. Вокруг дуги можно пройти с одной стороны на другую, не пересекая её: граница не замыкает область. Поэтому незамкнутая линия может проходить рядом с некоторой частью плоскости, но не ограничивает отдельную внутреннюю область. При этом у самой линии есть точки и концы.

Одинаковый признак применяют к окружностям, дугам, ломаным и кривым произвольной формы. У окружности и замкнутой ломаной начало можно выбрать в любом месте и после обхода вернуться к нему, а у дуги и разомкнутой ломаной остаются концы. Не нужно решать по тому, похожа ли линия на круг или сколько у неё изгибов. Сначала проследи линию, затем проверь совпадение концов и только после этого называй её тип.

Сравнение замкнутых и незамкнутых кривых

Используй строки таблицы как последовательность проверок: начни с концов линии и затем уточни, есть ли у неё внутренняя область. Примеры помогают проверить, правильно ли ты понял признак, но не заменяют его. Если форма необычная, решающим всё равно остаётся совпадение начала и конца.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены окружность, дуга, замкнутая ломаная и ломаная с несоединёнными концами. Определите, какие линии замкнутые. Не следует выбирать линии только по их внешнему виду: дуга похожа на часть окружности, а ломаная может образовать полноценный контур. Проверим каждую линию по совпадению начала и конца.

1. Проследим окружность от выбранной точки: полный обход возвращает нас к ней, поэтому линия замкнутая.
2. У дуги есть два разных конца, значит, она незамкнутая.
3. У замкнутой ломаной стороны соединены в контур, поэтому её начало и конец совпадают.
4. У последней ломаной концы не соединены, поэтому она незамкнутая.

Ответ: замкнутые линии — окружность и замкнутая ломаная. Проверка показывает, почему названия или изгибы сами по себе не дают ответа: важны соединённость концов и возможность вернуться к началу.

Задача 2. Нарисуйте замкнутую кривую и отметьте точки, лежащие внутри неё, снаружи и на самой кривой. Для примера удобно начертить окружность, потому что её границу легко увидеть. Нужно не смешать точки, расположенные в трёх разных местах относительно линии.

1. Начертим окружность и выберем точку внутри контура, не касаясь линии.
2. Поставим вторую точку за пределами окружности, с внешней стороны.
3. Отметим третью точку прямо на окружности; она принадлежит границе.
4. Сверим положение каждой точки с линией, а не только с её соседями.

Ответ: первая точка лежит во внутренней области, вторая — во внешней, третья — на кривой. Последняя точка не относится ни к внутренней, ни к внешней области, потому что границей является сама линия.

Задача 3. Изобразите незамкнутую кривую, затем измените её так, чтобы она стала замкнутой. Объясните, что изменилось. Можно начать с ломаной, у которой два конца не соединены, и дополнить рисунок отрезком между ними. Важно проверить, что соединение действительно касается обоих концов.

1. Нарисуем ломаную с двумя свободными концами и выберем один из них как начало движения.
2. Проведём новый отрезок, соединяющий свободные концы, без промежутка между ними.
3. Проследим полученный контур: движение по всем звеньям возвращает нас к исходной точке.
4. Проверим, что после изменения свободных концов не осталось.

Ответ: кривая стала замкнутой, потому что её концы соединились и теперь совпадают как начало и конец общего контура. Одного сближения концов было бы недостаточно: между ними не должно оставаться разрыва.

Типичные ошибки

Ошибка — считать кривую замкнутой, если её концы расположены близко. Такое впечатление возникает, когда расстояние между ними на рисунке мало, но близкие точки всё ещё могут быть разными. Проверь, есть ли непрерывное соединение: если виден промежуток, кривая незамкнутая.

Иногда любую линию с изгибами принимают за замкнутую, потому что она выглядит сложной или почти образует контур. Однако форма и число поворотов не говорят о совпадении начала и конца. Чтобы проверить себя, выбери точку и проследи линию до конца: возвращение в исходную точку подтверждает замкнутость.

Точку на границе могут ошибочно записать во внутреннюю область, потому что она находится рядом с пространством внутри контура. Но внутренняя область состоит из точек внутри, а сама линия образует границу. Сравни положение точки с кривой: если точка лежит прямо на ней, отметь её как точку границы.

Ещё одна ошибка — считать незамкнутой линию, часть которой просто не видна, или, наоборот, воображать невидимое соединение концов. Так бывает, когда рисунок кажется неполным или похожим на знакомую фигуру. Делай вывод по изображённой линии и условию: не дорисовывай участок без основания и уточняй, задано ли соединение концов.

Связь с другими темами

Для изучения кривых нужно различать линию, точку и область плоскости, а также уметь мысленно двигаться по линии от начала к концу. Эти навыки позволяют проверить, замыкается ли контур, и определить положение точки относительно него. Позже различение границы и внутренней области пригодится при изучении многоугольников, кругов и других геометрических фигур. Оно помогает отделять сам контур фигуры от пространства, которое он ограничивает.

Что запомнить

• У замкнутой кривой начало и конец совпадают.
• У незамкнутой кривой начало и конец различны.
• Внешний вид и количество изгибов сами по себе не определяют замкнутость.
• Замкнутая кривая ограничивает внутреннюю и внешнюю области.
• Граница — это сама кривая.
• Точка может лежать внутри кривой, снаружи неё или на границе.