3.61. Уравнение. Проверка решения уравнения

Определения и обозначения

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, значение которого нужно найти. Неизвестное обычно обозначают буквой, например x. Поэтому равенство x + 7 = 12 — уравнение, а запись 5 + 7 = 12 — уже обычное равенство без неизвестного.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, для x + 7 = 12 корнем будет 5, потому что при подстановке получается 5 + 7 = 12. Это понятие помогает отличить правильное решение от числа, которое просто появилось во время вычислений.

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходит одно значение, а иногда уравнение не имеет ни одного подходящего значения. Поэтому нужно не только выполнить вычисления, но и понять, найдено ли всё множество решений.

Проверка решения уравнения — подстановка найденного значения вместо неизвестного и сравнение полученных частей равенства. Если обе части имеют одинаковое значение, подстановка подтверждает, что число является корнем. Проверка помогает заметить ошибку, даже если ход решения сначала казался правильным.

Как это устроено

Уравнение можно распознать среди других равенств по неизвестному, которое обычно обозначено буквой. Буква показывает, что одно из чисел пока не известно, а равенство связывает его с известными числами. Например, в записи 3x − 8 = 13 число x неизвестно, поэтому задача состоит в том, чтобы подобрать его значение. Если буквенной неизвестной нет, перед нами не уравнение, а равенство с уже заданными числами.

Не всякое число, полученное в ходе решения, автоматически становится корнем. Корнем является только то значение, при котором исходное равенство действительно выполняется. Например, если подставить в x + 7 = 12 число 6, получится 13 = 12, а это неверно. Значит, одного факта, что число появилось в вычислениях, недостаточно: его нужно соотнести с условием уравнения.

Неизвестное постепенно освобождают от действий, которые выполняются над ним. Для этого применяют обратные действия: если к неизвестному прибавили число, его вычитают; если неизвестное умножили на число, делят на него. Например, из x + 7 = 12 можно вычесть 7, а из 3x = 21 — разделить обе части на 3. Так сохраняют равенство и шаг за шагом получают значение неизвестного.

Проверку выполняют в исходном уравнении, потому что именно оно задаёт условие, которому должен отвечать корень. Преобразованная запись показывает отдельный шаг решения, но ошибка могла появиться при переходе от неё к следующей записи. Если подставить число только в последнее выражение, можно не заметить, что в начале неверно выполнили действие или изменили знак. Подстановка в исходное равенство проверяет весь путь решения.

После подстановки вычисляют левую и правую части отдельно. Их значения должны совпасть: например, если получилось 12 = 12, равенство верно и найденное число является корнем. Если вышли разные числа, значит, это значение не подходит или в решении допущена ошибка. Поэтому проверка заканчивается ясным выводом, а не только вычислением двух частей.

Основные понятия и действия при работе с уравнением

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала распознай уравнение, затем найди значение неизвестного и проверь его. В последней колонке указано, что делать на каждом этапе. Проверка завершает решение и помогает подтвердить ответ.

Разбор задач

Уравнение x + 7 = 12

Неизвестное x увеличили на 7 и получили 12. Чтобы оставить x без прибавленного числа, применим обратное действие — вычитание. Это действие нужно выполнить с обеими частями уравнения.

1. Вычтем 7 из обеих частей: x + 7 − 7 = 12 − 7.
2. Упростим запись: x = 5.
3. Проверим в исходном уравнении: 5 + 7 = 12, получаем 12 = 12. Части равны, значит, значение найдено верно.

Ответ: x = 5.

Уравнение 3x − 8 = 13

Здесь неизвестное сначала умножили на 3, а затем вычли 8. Чтобы освободить x, нужно устранять действия в обратном порядке: сперва убрать вычитание 8, потом деление на 3. На каждом шаге выполняем одинаковое действие слева и справа.

1. Прибавим 8 к обеим частям: 3x − 8 + 8 = 13 + 8, поэтому 3x = 21.
2. Разделим обе части на 3: 3x : 3 = 21 : 3, откуда x = 7.
3. Подставим 7 в исходную запись: 3 · 7 − 8 = 21 − 8 = 13. Получилось 13 = 13, следовательно, 7 — корень уравнения.

Ответ: x = 7.

Уравнение 4(x − 3) = 20

В левой части выражение в скобках умножено на 4. Сначала уберём умножение, разделив обе части на 4, а затем восстановим значение x из выражения x − 3. Такая последовательность обратна действиям, указанным в уравнении.

1. Разделим обе части на 4: x − 3 = 5.
2. Прибавим 3 к обеим частям: x = 8.
3. Проверим найденное значение в исходном уравнении: 4(8 − 3) = 4 · 5 = 20. Получилось 20 = 20, поэтому равенство верно и 8 является корнем.

Ответ: x = 8.

Типичные ошибки

• Иногда корнем называют любое число, полученное при преобразованиях, и пропускают подстановку. Так происходит, когда вычисления принимают за достаточное доказательство. Проверь себя: поставь найденное число вместо неизвестного в исходное уравнение и сравни обе части.

• Ошибка возникает, если действие выполняют только с одной частью равенства. Ученик может сосредоточиться на неизвестном и забыть, что меняется всё равенство. Проверяй каждую строку: одинаковое действие должно быть выполнено и слева, и справа.

• При переносе слагаемого или применении обратного действия иногда путают знак. Причина часто в том, что шаг выполняют механически и не проверяют промежуточный результат. Запиши действие над обеими частями явно и подставь полученное значение в исходное уравнение.

• Записать только число — значит не показать, что оно решает уравнение. Читателю непонятно, завершено ли решение и проверялся ли результат. После вычислений напиши ответ с обозначением неизвестного и укажи вывод проверки: равенство верно, значит, число является корнем.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужны действия с натуральными числами, знание компонентов сложения, вычитания, умножения и деления, а также умение применять обратные действия. Эти навыки позволяют постепенно освобождать неизвестное, не нарушая равенства. Уравнения пригодятся при решении текстовых задач: по условию составляют равенство с неизвестной величиной, а затем находят её. Проверка подстановкой используется и в более сложных уравнениях, и при работе с системами уравнений, где нужно подтвердить найденные значения.

Что запомнить

• Уравнение содержит неизвестное.
• Корень — значение неизвестного, при котором равенство верно.
• Решить уравнение — значит найти все его корни.
• При преобразовании уравнения одинаковое действие выполняют с обеими его частями.
• Найденное значение обязательно проверяют подстановкой в исходное уравнение.
• В результате проверки левая и правая части должны иметь одинаковые значения.