"Математика", Зубарева И.И., Мордкович А.Г.
В математике часто нужно узнать, делится ли одно число на другое. Делимость – это когда число можно разделить без остатка. Существуют специальные правила – признаки делимости – которые помогают это быстро определить. В этом параграфе мы разберем признаки делимости на 3 и на 9. Знание этих признаков позволит вам упростить вычисления и быстрее решать математические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимость – это свойство числа, которое позволяет его разделить на другое число без остатка. Например, число 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4 без остатка. Число 3 в этом случае называют делителем, а 12 – делимым.
Признак делимости – это правило, которое позволяет быстро определить, делится ли число на заданный делитель, не выполняя деление в столбик. В этом параграфе мы познакомимся с признаками делимости на 3 и на 9.
Признак делимости на 3 гласит: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Это значит, что если сложить все цифры числа и полученная сумма делится на 3 без остатка, то и само число делится на 3. Это правило очень удобно использовать, когда нужно быстро проверить, делится ли число на 3, не прибегая к длительному делению.
Признак делимости на 9 похож на предыдущий: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Если сумма цифр числа делится на 9 без остатка, то и само число делится на 9. Этот признак полезен для быстрой проверки делимости на 9, особенно когда имеем дело с большими числами.
Любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число 357 можно записать как 300 + 50 + 7. Каждое разрядное слагаемое является произведением цифры на степень числа 10. Например, 300 = 3 * 100 = 3 * 102, 50 = 5 * 101, 7 = 7 * 100. Признак делимости на 3 работает, потому что 10n при делении на 3 всегда дает остаток 1.
Рассмотрим разрядное представление числа 357: 3 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100. При делении каждого слагаемого на 3 мы получаем: (3 * 102) mod 3 = (3 * 1) mod 3 = 0, (5 * 101) mod 3 = (5 * 1) mod 3 = 2, (7 * 100) mod 3 = (7 * 1) mod 3 = 1. Суммируя остатки (0 + 2 + 1 = 3), мы видим, что их сумма делится на 3, что подтверждает делимость числа 357 на 3.
Признак делимости на 9 работает аналогичным образом, но с учетом того, что 10n при делении на 9 всегда дает остаток 1. Это означает, что остаток от деления каждого разрядного слагаемого на 9 равен остатку от деления его цифры на 9.
Например, для числа 357: (3 * 102) mod 9 = (3 * 1) mod 9 = 3, (5 * 101) mod 9 = (5 * 1) mod 9 = 5, (7 * 100) mod 9 = (7 * 1) mod 9 = 7. Суммируя остатки (3 + 5 + 7 = 15), мы видим, что их сумма (15) не делится на 9, следовательно, и число 357 не делится на 9.
Полезность признаков делимости заключается в том, что они позволяют быстро проверять делимость чисел, не прибегая к трудоемкому делению в столбик. Это особенно важно при решении задач, где требуется быстро найти делители или определить, является ли число кратным заданному числу.
| Условие | Делимость на 3 | Делимость на 9 |
|---|---|---|
| Сумма цифр | делится на 3 | делится на 9 |
| Остаток от деления суммы цифр на 3 | 0 | 0 |
| Остаток от деления суммы цифр на 9 | любой | 0 |
Эта таблица наглядно показывает, какое условие должно выполняться, чтобы число делилось на 3 или на 9. Используйте ее как шпаргалку для быстрой проверки делимости чисел.
Задача 1: Проверьте, делится ли число 123 на 3 и на 9.
Задача 2: Можно ли число 45678 разделить на 9 без остатка?
Задача 3: Какое число нужно изменить, чтобы оно делилось на 3, если сумма его цифр равна 11?
Суммируют не все цифры числа: Ученики могут забыть включить в сумму одну или несколько цифр, особенно в больших числах. Почему это происходит? В спешке или невнимательности можно просто пропустить одну из цифр. Как проверить себя? Пересчитайте цифры и убедитесь, что учли каждую.
Неправильно считают сумму цифр: Ошибки в сложении, особенно с большими числами, могут привести к неверному результату. Почему это происходит? Математические ошибки при сложении – обычное дело. Как проверить себя? Пересчитайте сумму цифр еще раз, можно использовать калькулятор.
Спутывают признаки делимости на 3 и на 9: Некоторые ученики думают, что если число делится на 3, то оно обязательно делится и на 9. Почему это происходит? Оба признака связаны с суммой цифр, поэтому их легко перепутать. Как проверить себя? Вспомните, что для делимости на 9 сумма цифр должна делиться именно на 9, а не просто на 3.
Применяют признак делимости к дробному числу: Признак делимости применим только к целым числам. Почему это происходит? Непонимание, к каким числам применимы признаки делимости. Как проверить себя? Убедитесь, что вы работаете с целым числом, прежде чем применять признак делимости.
Основные понятия делимости: Для понимания признаков делимости важно знать, что значит «делится на», «делитель» и «кратное». Без этих понятий невозможно правильно применять признаки.
Признаки делимости на 2, 5, 10: Изучение признаков делимости на 2, 5 и 10 помогает понять общий принцип признаков делимости и облегчает усвоение правил для 3 и 9.
Что будет, если число отрицательное?
Признаки делимости работают и для отрицательных чисел. Нужно просто взять модуль числа (убрать знак минус) и проверить делимость суммы его цифр. Если сумма цифр делится на 3 или 9, то и исходное число делится на 3 или 9.
Можно ли применять эти признаки к очень большим числам?
Да, признаки делимости можно применять к любым целым числам, независимо от их размера. Это особенно удобно для больших чисел, где деление в столбик может быть затруднительным или занимать много времени.
А есть ли признаки делимости на другие числа?
Да, существуют признаки делимости и для других чисел, например, на 2, 5, 10, 4, 6, 8 и другие. Каждый признак основан на особенностях делимости и помогает упростить проверку.
Если сумма цифр числа не делится на 3, значит ли это, что и число не делится на 3?
Да, это верно. Если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. Признаки делимости работают в обе стороны: если условие выполняется, то делимость есть, и если условие не выполняется, то делимости нет.
Как работает признак делимости на 9, если число содержит нули?
Нули в числе не влияют на признак делимости на 9. Нужно просто просуммировать все ненулевые цифры числа и проверить, делится ли эта сумма на 9. Нули можно не учитывать при суммировании.
§ 29. Признаки делимости на 3 и 9
