Во введении обозначается тема проекта и объясняется, почему мнимые числа могут казаться непривычными: квадрат любого действительного числа неотрицателен, однако алгебраические уравнения иногда требуют корней из отрицательных величин. Здесь формулируются исследовательский вопрос, цель и задачи, а также кратко указывается, каким образом история и примеры вычислений помогут раскрыть смысл темы.

В этом пункте рассматриваются математические задачи, из которых выросла потребность расширить систему действительных чисел, прежде всего решение кубических уравнений. Объясняется, почему выражения с корнями из отрицательных чисел возникали даже тогда, когда итоговый ответ оказывался действительным, и почему прежних правил алгебры оказалось недостаточно для удобной работы с такими выражениями.

Раздел знакомит с основными этапами признания мнимых чисел: ранними примерами у Джероламо Кардано, правилами вычислений Рафаэля Бомбелли и дальнейшим развитием представлений о комплексных числах. Исторические сведения показывают, как отношение учёных к необычным выражениям менялось от сомнения к строгому математическому использованию; факты и даты приводятся с опорой на справочные источники.

Здесь вводится обозначение i и основное соотношение i² = −1, из которого выводятся значения последующих степеней мнимой единицы. На примерах показываются сложение, умножение и упрощение выражений с i, а также поясняется отличие математического определения от попытки представить i как обычную точку на числовой прямой.

В пункте объясняется запись комплексного числа в форме a + bi и смысл его действительной и мнимой частей. Затем рассматривается геометрическая модель, где числу соответствует точка или вектор с двумя координатами. Такое представление позволяет наглядно сравнивать числа и связывать алгебраические действия с геометрическими преобразованиями.

Раздел показывает, что комплексные числа не ограничиваются формальными упражнениями по алгебре. На доступном уровне описываются их роли при решении многочленных уравнений, представлении вращений и анализе колебаний, а также упоминается применение в расчётах переменного электрического тока. Каждый пример сопровождается пояснением, какую именно задачу помогает решить комплексная запись.

В практической части выполняются вычисления с мнимой единицей и комплексными числами: упрощение степеней i, сложение и умножение выражений, проверка корней квадратного уравнения. Решения записываются по шагам, чтобы можно было проверить каждое преобразование и увидеть, как определение i позволяет получить ответ, невозможный в пределах действительных чисел.

Практический пункт посвящён наглядному представлению выбранных комплексных чисел на координатной плоскости. Для каждого примера отмечаются действительная и мнимая части, сопоставляются координаты и алгебраическая запись, после чего обсуждается, что можно понять по рисунку. Схема используется как проверяемая иллюстрация, а не как замена точным вычислениям.

В заключении подводится итог изучению истории и математической природы мнимых чисел. Кратко связываются причины их появления, правила работы с мнимой единицей и представление комплексных чисел на плоскости; также отмечается, какие примеры подтвердили возможность строгих вычислений. Здесь формулируется ответ на исследовательский вопрос без добавления новых фактов и неподтверждённых утверждений.

В этом разделе перечисляются учебники, энциклопедические и историко-математические источники, использованные для проверки определений, биографических сведений и дат. Для электронных материалов указываются название ресурса, автор или организация и дата обращения, если она доступна. Список оформляется единообразно, чтобы читатель мог найти первоисточники и проверить приведённые в проекте сведения.