1.2 Основное свойство дроби

Определения и обозначения

Основное свойство дроби означает: значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Это правило позволяет записывать одну и ту же величину разными дробями и выполнять дальнейшие преобразования.

Равные дроби — дроби с одинаковыми значениями, даже если их числители и знаменатели различаются. Например, 1/2 и 3/6 равны, поэтому такой способ записи помогает заменять неудобную дробь более подходящей.

Расширение дроби — умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Оно нужно, например, чтобы получить заданный или общий знаменатель, не изменив значение дроби.

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на общий ненулевой делитель. После сокращения запись обычно становится проще: например, 12/18 превращается в 2/3.

Как это устроено

Пусть дана дробь a/b, где b ≠ 0, и ненулевое число k. При умножении числителя и знаменателя на k получаем (a · k)/(b · k). Это то же самое, что умножить дробь a/b на k/k, а k/k = 1, поэтому значение не изменяется.

Деление работает по той же причине. Если число d является общим ненулевым делителем числителя и знаменателя, то a = d · a₁ и b = d · b₁; после деления получаем a₁/b₁. Мы убираем одинаковый множитель сверху и снизу, а не меняем отношение чисел.

Из основного свойства следуют равные дроби: одну дробь можно преобразовать расширением или сокращением, сохранив её значение. Например, 2/3 = 8/12, потому что обе части первой дроби умножены на 4. Проверить равенство можно также сравнением значений или приведением дробей к общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, выбирают число, которое делится на каждый исходный знаменатель, часто их наименьшее общее кратное. Затем для каждой дроби находят дополнительный множитель: общий знаменатель делят на её знаменатель. Числитель и знаменатель умножают на этот множитель, после чего знаменатели совпадают.

Сокращение делает дробь более простой для чтения и вычислений. Если после деления у числителя и знаменателя всё ещё есть общий делитель, сокращение продолжают. Дробь считается несократимой, когда её числитель и знаменатель взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме 1.

Преобразования дроби на основе её основного свойства

Сначала определите, какое преобразование требуется: умножение означает расширение, а деление — сокращение. Затем проверьте, что действие выполняется с числителем и знаменателем одновременно. В последнем случае дополнительный множитель выбирают отдельно для каждой дроби, но внутри одной дроби он должен быть одинаковым.

Разбор задач

1. Преобразовать дробь 3/5 в дробь со знаменателем 20

Нужно изменить знаменатель с 5 на 20 и сохранить значение дроби. Для этого используем расширение.

1. Находим дополнительный множитель: 20 : 5 = 4.
2. Умножаем числитель на тот же множитель: 3 · 4 = 12.
3. Записываем результат: 3/5 = 12/20.

Ответ: 12/20.

2. Сократить дробь 42/56

Нужно найти общий делитель числителя и знаменателя. Удобно взять наибольший общий делитель, чтобы сразу получить несократимую дробь.

1. Находим общий делитель: НОД(42, 56) = 14.
2. Делим числитель и знаменатель на 14: 42 : 14 = 3, 56 : 14 = 4.
3. Получаем равную дробь 3/4 и проверяем: 3 и 4 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: 42/56 = 3/4.

3. Сравнить дроби 7/12 и 5/8

Знаменатели разные, поэтому сначала приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 12 и 8 равно 24.

1. Для первой дроби дополнительный множитель равен 24 : 12 = 2: 7/12 = 14/24.
2. Для второй дроби дополнительный множитель равен 24 : 8 = 3: 5/8 = 15/24.
3. У дробей одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем числители: 14 < 15.

Ответ: 7/12 < 5/8.

Типичные ошибки

Действие только с одной частью. Иногда ученик умножает только числитель или только знаменатель. Так меняется значение дроби; проверьте, записан ли один и тот же множитель сверху и снизу.

Деление на ноль. Нулю ошибочно приписывают свойства обычного делителя. Делить на ноль нельзя, поэтому перед сокращением убедитесь, что выбранный общий делитель ненулевой.

Сокращение слагаемых. В выражении (2 + 5)/(3 + 5) нельзя просто зачеркнуть 2 и 3: сокращать можно общие множители, а не отдельные слагаемые. Сначала разложите числитель и знаменатель на множители или выполните действия в скобках.

Разные множители при расширении. Если умножить числитель на одно число, а знаменатель на другое, значение дроби изменится. Проверьте, что выбранный множитель повторяется в обеих частях одной дроби.

Связь с другими темами

До изучения свойства нужны представления о числителе и знаменателе, а также навыки умножения, деления и нахождения общих делителей. Позже это правило поможет сокращать алгебраические дроби и приводить их к общему знаменателю. Оно используется при сложении, вычитании, сравнении дробей и преобразовании рациональных выражений.

Что запомнить

• Числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же ненулевое число.
• Числитель и знаменатель можно разделить на один и тот же общий ненулевой делитель.
• Такие преобразования не изменяют значение дроби.
• Умножение числителя и знаменателя на одно число называется расширением дроби.
• Деление числителя и знаменателя на общий делитель называется сокращением дроби.
• Несократимая дробь не имеет общих делителей числителя и знаменателя, кроме 1.
• При любом преобразовании знаменатель не должен становиться равным нулю.