1.3 Сложение и вычитание алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, в числителе и знаменателе которой находятся числа, переменные или выражения с ними. Например, 3a/(a − 2) и (x + 1)/(x² + 4) — алгебраические дроби. Для каждой такой записи указывают значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый из знаменателей данных дробей без остатка. Он нужен, чтобы заменить дроби равными дробями с одним знаменателем. После этого числители можно сложить или вычесть по обычному правилу.

Дополнительный множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби при приведении к общему знаменателю. Он показывает, каких множителей не хватает исходному знаменателю. Благодаря этому все дроби получают одинаковый знаменатель.

Сокращение алгебраической дроби — деление числителя и знаменателя на их общий ненулевой множитель. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Такое преобразование делает запись короче, но не отменяет ограничений на переменные.

Как это устроено

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают так: знаменатель оставляют прежним, а числители складывают или вычитают. Поэтому дроби с разными знаменателями нельзя объединить сразу: их части относятся к разным долям целого. Сначала нужно заменить каждую дробь равной ей дробью с одним общим знаменателем.

Общий знаменатель находят по разложениям знаменателей на множители. Каждый различный множитель берут в наибольшей степени, встречающейся среди всех разложений: это гарантирует, что полученное выражение делится на каждый исходный знаменатель. Например, для x(x − 2) и (x − 2)(x + 2) общим знаменателем будет x(x − 2)(x + 2).

Чтобы получить дополнительный множитель, сравнивают общий знаменатель с исходным. Если исходный знаменатель равен x − 2, а общий равен (x − 2)(x + 2), дополнительный множитель равен x + 2. Числитель и знаменатель умножают на него одновременно, потому что умножение дроби на (x + 2)/(x + 2) не меняет её значения при x ≠ −2.

После приведения дробей выполняют действие с числителями. При вычитании второй числитель обязательно заключают в скобки: A/(C) − B/(C) = (A − B)/(C), а если B состоит из нескольких слагаемых, минус меняет знак каждого из них. Затем раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и проверяют, можно ли сократить полученную дробь.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Таблица помогает выбрать порядок действий в зависимости от вида знаменателей. В строке про общие множители сначала выполните разложение и уберите повторяющиеся множители из записи общего знаменателя. После вычислений сверяйте результат с последним столбцом и отдельно проверяйте ограничения на переменные.

Разбор задач

Задача 1

Условие: упростить выражение 3a/(a − 2) − (a + 1)/(a − 2). Ограничение сразу видно из знаменателя: a ≠ 2.

1. Знаменатели одинаковые, поэтому общий знаменатель равен a − 2.
2. Объединяем числители и сохраняем скобки: [3a − (a + 1)]/(a − 2).
3. Раскрываем скобки: 3a − a − 1 = 2a − 1.

Ответ: (2a − 1)/(a − 2), a ≠ 2.

Задача 2

Условие: выполнить действие x/(x − 3) + 2/(x + 3). Исходные знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому x ≠ 3 и x ≠ −3.

1. Общий знаменатель равен (x − 3)(x + 3).
2. Первую дробь домножаем на x + 3, вторую — на x − 3: [x(x + 3) + 2(x − 3)]/[(x − 3)(x + 3)].
3. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: x² + 3x + 2x − 6 = x² + 5x − 6.

Ответ: (x² + 5x − 6)/[(x − 3)(x + 3)], x ≠ ±3.

Задача 3

Условие: упростить 2/(x² − 4) + 1/(x² + 2x). Сначала разложим знаменатели: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), а x² + 2x = x(x + 2).

1. Общий знаменатель: x(x − 2)(x + 2), ограничения: x ≠ 0, 2, −2.
2. Первую дробь домножаем на x, вторую — на x − 2: [2x + (x − 2)]/[x(x − 2)(x + 2)].
3. Приводим числитель: 2x + x − 2 = 3x − 2. Общих множителей для сокращения нет.

Ответ: (3x − 2)/[x(x − 2)(x + 2)], x ≠ 0, ±2.

Типичные ошибки

Складывают знаменатели. Так происходит, когда правило сложения чисел переносят на дроби. При одинаковом знаменателе он сохраняется, поэтому проверьте, не изменился ли он после действия.

Домножают только числитель. Тогда дробь перестаёт быть равной исходной, потому что её значение изменяется. Проверка проста: дополнительный множитель должен стоять и над чертой, и под чертой.

Теряют знаки при вычитании. Причина — отсутствие скобок вокруг второго числителя. Запишите A − (B + C), а затем убедитесь, что минус превратил оба плюса внутри скобок в минусы.

Неправильно сокращают дробь. Сокращать можно только множители, а не слагаемые, и нельзя забывать ОДЗ. Для проверки разложите числитель и знаменатель на множители и сохраните запретные значения из исходной записи.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны основное свойство дроби, действия с обыкновенными дробями, разложение многочленов на множители и приведение подобных слагаемых. Эти умения образуют последовательность преобразования: разложить, привести, выполнить действие и упростить.

Сложение и вычитание алгебраических дробей используется при преобразовании рациональных выражений, а затем при решении рациональных уравнений и неравенств. Правильное выполнение действий помогает не потерять корни и не включить запрещённые значения.

Тема связана с тождественными преобразованиями: выражение меняет вид, но сохраняет значение при допустимых значениях переменных. Поэтому область допустимых значений нужно учитывать на каждом сложном преобразовании.

Что запомнить

• Сначала дроби приводят к общему знаменателю.
• Общий знаменатель удобно находить после разложения знаменателей на множители.
• При приведении дроби к общему знаменателю числитель и знаменатель умножают на одно и то же выражение.
• После приведения к общему знаменателю складывают или вычитают только числители.
• При вычитании дроби минус относится ко всему её числителю.
• В конце раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и сокращают дробь.
• Значения переменных, обращающие исходные знаменатели в ноль, исключают из области допустимых значений.