1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Все действия с алгебраическими дообямм

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями: числами, переменными или многочленами. Например, (x + 2)/(x − 3) — алгебраическая дробь. Её знаменатель не может быть равен нулю, поэтому здесь x ≠ 3.

Умножение алгебраических дробей — действие, при котором числители перемножают между собой, а знаменатели — между собой, после чего сокращают результат. Например, A/B · C/D = AC/BD. Это позволяет заменять несколько дробей одной и упрощать выражение.

Деление алгебраических дробей — умножение делимого на дробь, обратную делителю. В записи A/B : C/D получаем A/B · D/C. Делитель должен быть отличен от нуля, иначе действие не имеет смысла.

Сложение и вычитание алгебраических дробей выполняют после приведения их к общему знаменателю. Затем складывают или вычитают числители, а знаменатель записывают один раз. Такой способ нужен потому, что складывать напрямую можно только дроби с одинаковыми знаменателями.

Как это устроено

При умножении дробей числители и знаменатели перемножают отдельно, потому что дробь показывает отношение числителя к знаменателю. Свойство (A/B) · (C/D) = AC/BD следует из обычных дробей и сохраняется, если вместо чисел стоят выражения. После умножения результат обычно раскладывают на множители и сокращают.

Перед умножением полезно разложить многочлены на множители. Например, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), и тогда общий множитель можно увидеть и убрать из числителя и знаменателя. Сокращение допустимо только при ненулевом значении этого множителя, поэтому исходные ограничения нужно записать заранее.

Деление заменяют умножением на обратную дробь, потому что произведение ненулевой дроби и обратной ей дроби равно 1. Поэтому делитель C/D превращается в D/C, а первая дробь остаётся на месте. При этом исходные знаменатели не должны обращаться в ноль, и сам делитель C/D тоже не должен быть равен нулю.

Для сложения и вычитания сначала находят общий знаменатель, обычно раскладывая знаменатели на множители. Каждую дробь домножают на недостающие множители, чтобы знаменатели стали одинаковыми. После этого выполняют действие только с числителями, а общий знаменатель оставляют без изменения.

Если выражение содержит несколько действий, сначала определяют область допустимых значений по его исходной записи, затем соблюдают порядок действий: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание. Сокращение может убрать запрещённый множитель из видимой записи, но не разрешает подставлять прежнее недопустимое значение. Поэтому ограничения записывают рядом с ответом.

Действия с алгебраическими дробями

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом проверки: сначала определите действие, затем примените его правило. После преобразований отдельно проверьте ограничения, особенно если выполнялось сокращение.

Разбор задач

Задача 1

Упростим произведение (3x/5) · (10/(9x)). В знаменателе исходной записи есть множитель x, поэтому сразу отмечаем ограничение x ≠ 0. Умножение удобно выполнять после сокращения общих множителей.

1. Запишем произведение: 3x · 10/(5 · 9x).
2. Сократим x, а 10 и 5 заменим отношением 2: получим 3 · 2/9.
3. Сократим 3 и 9: результат равен 2/3.

Ответ: 2/3, x ≠ 0. Число получилось постоянным, но ограничение не исчезло, поскольку оно было в исходной дроби.

Задача 2

Выполним деление (x² − 4)/(x + 1) : (x − 2)/(x + 3). Сначала разложим разность квадратов, а затем заменим деление умножением на обратную дробь. В исходной записи x ≠ −1, x ≠ −3, а делитель не равен нулю при x ≠ 2.

1. Разложим x² − 4: (x − 2)(x + 2).
2. Перевернём дробь-делитель: (x − 2)(x + 2)/(x + 1) · (x + 3)/(x − 2).
3. Сократим множитель x − 2 и получим (x + 2)(x + 3)/(x + 1).

Ответ: (x + 2)(x + 3)/(x + 1), x ≠ −1, −3, 2. Значение x = 2 нельзя вернуть после сокращения: при нём исходный делитель был равен нулю.

Задача 3

Упростим выражение 1/(x − 1) + 2/(x + 1) − (x + 3)/(x² − 1) · (x − 1)/2. Сначала разложим x² − 1 = (x − 1)(x + 1) и выполним умножение. Исходные знаменатели требуют условий x ≠ 1 и x ≠ −1.

1. Произведение дробей равно (x + 3)/(2(x + 1)).
2. Объединим вторую и третью дроби: 2/(x + 1) − (x + 3)/(2(x + 1)) = (1 − x)/(2(x + 1)).
3. Сложим с первой дробью: 1/(x − 1) − (x − 1)/(2(x + 1)) = (−x² + 4x + 1)/(2(x² − 1)).

Ответ: (−x² + 4x + 1)/(2(x² − 1)), x ≠ 1, −1. Ограничения взяты из исходного выражения, а не только из его сокращённого вида.

Типичные ошибки

При умножении иногда складывают числители и знаменатели. Так происходит из-за смешения правил умножения и сложения дробей. Проверьте себя: при умножении между числителями и между знаменателями должны стоять произведения, а не знаки плюс.

Нельзя сокращать отдельные слагаемые в числителе или знаменателе, например в дроби (x + 2)/x. Сокращение относится только к общим множителям всей дроби, поэтому сначала нужно разложить выражения на множители. Для проверки мысленно замените плюс на скобки: слагаемые не вынесены за скобки, значит сокращать их нельзя.

При делении ошибочно оставляют обе дроби без изменений или переворачивают первую. Причина — невнимательность к слову «делитель»: обратной становится именно вторая дробь. Запишите двоеточие и стрелкой отметьте дробь справа, которую нужно перевернуть.

После сокращения часто забывают ограничения исходной записи. Сокращённая формула может быть определена там, где исходное выражение не имело смысла. Сверьте все исходные знаменатели и делители с записанными в ответе условиями.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь раскладывать многочлены на множители, находить общий знаменатель и выполнять действия с обыкновенными дробями. Эти навыки превращают сложные алгебраические дроби в знакомые и более простые выражения.

Алгебраические дроби применяются при решении рациональных уравнений и преобразовании выражений с переменными в знаменателях. Ограничения помогают не потерять смысл исходного уравнения.

Тема опирается на свойства степеней и распределительное свойство умножения. Благодаря им можно раскрывать скобки, выносить множители и правильно преобразовывать многочлены.

Что запомнить

• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• Для сложения и вычитания дроби приводят к общему знаменателю.
• Знаменатель любой исходной дроби не равен нулю.
• Делитель при делении должен быть отличен от нуля.
• Ограничения определяют по исходному выражению и сохраняют после упрощения.