1.5. Степень с целым показателем

Определения и обозначения

Степень с целым показателем — выражение вида aⁿ, где показатель n является целым числом. Основание a — число или выражение, которое возводят в степень, а показатель n указывает, какая именно степень записана. Например, в 3⁴ основание — 3, показатель — 4. Такое обозначение позволяет работать не только с натуральными показателями, но и с нулём и отрицательными числами.

Нулевая степень — степень a⁰, равная 1 при a ≠ 0. Здесь основание должно быть ненулевым: запись 0⁰ не определена. Например, 7⁰ = 1 независимо от того, какое ненулевое число стоит в основании. Это определение нужно, чтобы правила действий со степенями оставались верными и при показателе 0.

Отрицательная степень — степень a⁻ⁿ, равная 1/aⁿ при a ≠ 0 и n > 0. Иначе говоря, число с отрицательным показателем заменяют обратной дробью с положительным показателем. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Такое определение помогает записывать дроби короче и сохранять знакомые правила степеней.

В записи aⁿ число a называется основанием степени, а целое число n — её показателем. Основание показывает, какое число возводят в степень, а показатель задаёт вид степени: положительную, нулевую или отрицательную. Например, у (−4)⁻² основание — −4, показатель — −2. Скобки показывают, что минус относится к основанию.

Как это устроено

Нулевой показатель вводят так, чтобы сохранить правило деления степеней с одинаковым основанием. Возьмём ненулевое a и натуральное m: при делении aᵐ на aᵐ результат равен 1, потому что делятся одинаковые числа. Но по правилу вычитания показателей эта же запись равна aᵐ⁻ᵐ = a⁰. Значит, чтобы оба способа вычисления совпали, нужно принять a⁰ = 1; основание не может быть нулём, поскольку деление на него невозможно.

Отрицательный показатель тоже следует из желания сохранить правило деления: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если n больше m, разность показателей отрицательна, например a² : a⁵ = a⁻³. С другой стороны, это частное равно 1/a³: после сокращения двух множителей a в числителе остаются три множителя в знаменателе. Поэтому a⁻³ = 1/a³, а в общем случае a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Из определения сразу следуют ограничения. При отрицательном показателе основание не может равняться нулю: иначе пришлось бы делить на ноль. Нулевой показатель также определён только при ненулевом основании, поскольку его получают из деления одинаковых степеней. При положительном целом показателе нулевое основание допустимо: например, 0³ = 0.

Основные свойства степеней сохраняются, если отрицательные показатели заменить дробями. Например, a⁻² · a⁵ = (1/a²) · a⁵ = a³ при a ≠ 0: сокращение даёт тот же результат, что и сложение показателей. Аналогично деление степеней с одинаковым основанием приводит к вычитанию показателей, а при возведении степени в степень показатели перемножаются. Свойства степени произведения и частного также работают, если дроби определены: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ при b ≠ 0.

Знак и величину степени определяют по основанию, показателю и возможности переписать выражение как дробь. Положительное основание даёт положительную степень, а у отрицательного основания чётная степень положительна, нечётная — отрицательна; при нулевом показателе результат равен 1, если основание ненулевое. Для сравнения удобно сначала заменить отрицательный показатель дробью: например, 2⁻² = 1/4, а 2⁻¹ = 1/2, поэтому 2⁻² < 2⁻¹. При отрицательном основании и дробном виде нужно отдельно следить за знаком числителя.

Степень с целым показателем: определения и свойства

В таблице собраны основные случаи и условия, при которых формулы имеют смысл. Перед применением правила проверьте основание и знаменатель: особенно внимательно — при отрицательных показателях и делении. Строки о произведении, частном и степени степени помогают выбрать действие с показателями.

Разбор задач

1. Вычислить 2⁰, 3⁻² и (−5)⁻¹

Нужно вычислить три степени, применяя определения нулевого и отрицательного показателей. Для отрицательной степени заменим её обратной дробью с положительным показателем. В последнем примере основание отрицательное, поэтому важно сохранить скобки и знак числа.

1. Так как 2 ≠ 0, по определению нулевой степени 2⁰ = 1.
2. 3⁻² = 1/3² = 1/9.
3. (−5)⁻¹ = 1/(−5)¹ = −1/5.

Проверка показывает, что минус в показателе не меняет знак сам по себе: он превращает степень в обратную дробь. Знак последнего результата отрицательный, потому что основание отрицательное, а показатель по модулю равен 1. Ответ: 2⁰ = 1, 3⁻² = 1/9, (−5)⁻¹ = −1/5.

2. Упростить (a⁻³ · a⁵) : a² при a ≠ 0

В выражении есть умножение и деление степеней с одинаковым основанием, поэтому можно последовательно менять показатели. Сначала объединим степени в скобках, а затем разделим результат на a². Условие a ≠ 0 необходимо, поскольку в записи есть отрицательная степень и деление.

1. В скобках складываем показатели: a⁻³ · a⁵ = a⁻³⁺⁵ = a².
2. Делим степени с одинаковым основанием: a² : a² = a²⁻² = a⁰.
3. Так как a ≠ 0, применяем определение нулевой степени: a⁰ = 1.

Можно проверить ответ исходной записью: a⁻³ · a⁵ = a², а a² : a² равно 1 при ненулевом a. Здесь важно не складывать показатели при делении: в этом действии показатели вычитаются. Ответ: 1.

3. Преобразовать выражение и вычислить его значение

Представим (2x⁻²y³)/(4x⁻⁵y) в виде степени с неотрицательными показателями и найдём значение при x = 2, y = 1. Сначала сокращаем числовые коэффициенты, затем вычитаем показатели переменных в числителе и знаменателе. Так как переменная x стоит в отрицательных степенях, при преобразовании требуется x ≠ 0; заданное значение этому условию соответствует.

1. Сократим коэффициенты: 2/4 = 1/2.
2. Для x вычтем показатели: x⁻²/x⁻⁵ = x⁻²⁻⁽⁻⁵⁾ = x³.
3. Для y получим y³/y = y³⁻¹ = y². Значит, выражение равно x³y²/2, и все показатели неотрицательны.
4. Подставим x = 2, y = 1: 2³ · 1²/2 = 8/2 = 4.

Подстановка допустима: x не равен нулю, а знаменатель исходного выражения при x = 2 и y = 1 не обращается в ноль. Полученное выражение действительно содержит только неотрицательные показатели. Ответ: x³y²/2; при x = 2, y = 1 значение равно 4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Так путают нулевой показатель с нулевым основанием, хотя при a ≠ 0 нулевая степень равна 1. Проверьте себя делением: aᵐ : aᵐ = 1, а по правилу степеней это a⁰.

Ошибка: записывать a⁻ⁿ = −aⁿ. Минус в показателе принимают за знак числа, но он означает обратную дробь: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Для проверки возьмите простой пример: 2⁻² = 1/4, а не −4.

Ошибка: использовать отрицательную степень при нулевом основании. Такое выражение потребовало бы деления на ноль, поэтому 0⁻ⁿ не определено. Перед вычислением замените отрицательный показатель дробью и проверьте, не окажется ли ноль в знаменателе.

Ошибка: распространять свойства степеней на сумму, например считать (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Правила степеней относятся к произведению, частному и степени степени, а сумма устроена иначе. Подставьте числа для проверки: (2 + 3)² = 25, но 2² + 3² = 13.

Связь с другими темами

Чтобы изучать целые показатели, нужно знать, как записывают степень с натуральным показателем, и уметь умножать и делить дроби. Тогда отрицательный показатель можно понять как переход к обратной дроби, а правила — проверить сокращением множителей. Эти умения пригодятся при преобразовании рациональных выражений и записи чисел в стандартном виде.

Дальше свойства степеней понадобятся при изучении одночленов, многочленов, корней и показательных выражений. Например, при упрощении одночленов складывают или вычитают показатели одинаковых переменных. А при работе с дробными выражениями важно следить, чтобы знаменатель не равнялся нулю.

Что запомнить

• a⁰ = 1 при a ≠ 0.
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Основание отрицательной степени не может быть равно нулю.
• Свойства степеней нельзя безоговорочно переносить на сумму.