§ 8. Степень с целым показателем

Определения и обозначения

Если показатель n — натуральное число, то aⁿ обозначает произведение n одинаковых множителей a: a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Это короткая запись помогает не выписывать длинное произведение и служит основой для степеней с другими целыми показателями.

Для любого ненулевого числа a нулевая степень определяется равенством a⁰ = 1. Основание должно быть ненулевым: иначе правило пришлось бы применять к делению на ноль. Такое определение позволяет сохранить привычное правило деления степеней, когда показатели становятся равными.

Для ненулевого a и натурального n отрицательная степень определяется формулой a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻³ означает не отрицательное число, а дробь 1/2³. Определение расширяет правила степеней на целые показатели меньше нуля и позволяет записывать некоторые дроби компактнее.

Числа a и 1/a называются взаимно обратными, если a ≠ 0: их произведение равно единице. Поэтому a⁻ⁿ — число, обратное к aⁿ, ведь aⁿ · 1/aⁿ = 1. Эта связь помогает понимать отрицательный показатель и заменять его дробью при вычислениях.

Как это устроено

Рассмотрим деление степеней с одинаковым ненулевым основанием: aⁿ/aⁿ. Любое ненулевое число, делённое само на себя, равно 1, а по правилу деления степеней получается aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Значит, чтобы сохранить это правило, нужно принять a⁰ = 1; при a = 0 такое деление невозможно.

Пусть n больше m. При делении aᵐ на aⁿ сокращаются m одинаковых множителей, но в знаменателе остаются ещё n − m множителей a. Поэтому aᵐ/aⁿ = 1/aⁿ⁻ᵐ. По правилу вычитания показателей это выражение записывается как aᵐ⁻ⁿ, то есть отрицательная степень и означает обратную положительную степень.

Если основание отрицательное, знак зависит от того, сколько раз оно входит множителем. При чётном показателе минусы можно объединить в пары, и каждая пара даёт плюс. При нечётном один минус остаётся, поэтому результат отрицательный; это правило относится к степени всего числа в скобках.

Свойства степеней сохраняются, потому что новые определения согласованы с умножением и делением одинаковых множителей. Например, при умножении aᵐ и aⁿ показатели складываются, а при делении вычитаются, в том числе если результатом вычитания становится ноль или отрицательное число. Основания должны быть ненулевыми там, где используются нулевая или отрицательная степени, а знаменатель в частном не может быть нулём.

Формула a⁻ⁿ = 1/aⁿ позволяет прежде всего заменить отрицательный показатель на дробь. После такой замены проще проверить знак и выполнить действия с обычными положительными степенями. Например, 4⁻² — это 1/16, а не −16; знак минус в показателе указывает на обратное число.

Свойства степеней с целым показателем

Выберите строку по действию в выражении: при умножении одинаковых оснований складывают показатели, при делении — вычитают. Затем проверьте условия, особенно ненулевые основания и знаменатели. Если встретился отрицательный показатель, его можно заменить дробью по определению.

Разбор задач

Вычислите 5⁰ и 2⁻³

Здесь нужно применить два определения, а не считать показатели обычными множителями. Сначала проверим основания: 5 и 2 не равны нулю. Поэтому обе степени определены.

1. По определению нулевой степени 5⁰ = 1.
2. Заменим отрицательный показатель: 2⁻³ = 1/2³.
3. Вычислим положительную степень: 2³ = 8, значит, 2⁻³ = 1/8.

Получили 5⁰ = 1 и 2⁻³ = 1/8. Проверка смысла второй записи: число 1/8 действительно обратно к 8. Отрицательный показатель не превращает положительное основание в отрицательное число.

Упростите x⁻² · x⁵ при x ≠ 0

Основания степеней одинаковые, значит, при умножении показатели складываются. Условие x ≠ 0 позволяет использовать отрицательную степень. Сначала объединим степени, а затем проверим, нужен ли ответ с дробью.

1. Запишем произведение одной степенью: x⁻² · x⁵ = x⁻²⁺⁵.
2. Сложим показатели: −2 + 5 = 3, поэтому получаем x³.
3. Показатель положительный, заменять степень дробью не нужно.

Ответ: x³. Например, при любом ненулевом x это обычная третья степень. Здесь не следует складывать сами основания или умножать показатели: правило относится к показателям при умножении степеней с одинаковым основанием.

Упростите и вычислите при a = −2 выражение (a⁻² · a³)/a⁻¹

Основание a должно быть ненулевым, и условие выполняется при a = −2. Удобно сначала применить правила степеней, а после подставить значение. Скобки показывают, что основание отрицательное.

1. В числителе складываем показатели: a⁻² · a³ = a¹.
2. При делении вычитаем показатель знаменателя: a¹/a⁻¹ = a¹⁻⁽⁻¹⁾ = a².
3. Подставляем a = −2: (−2)² = (−2) · (−2) = 4.

Упрощённое выражение равно a², а его значение при a = −2 равно 4. Чётная степень отрицательного основания положительна. Можно проверить и исходную запись: все степени определены, поскольку −2 не равно нулю.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0⁰ = 1. Определение нулевой степени получено для ненулевого основания, а запись 0⁰ нельзя обосновать делением нуля на самого себя. Перед применением правила проверьте основание; если оно равно нулю, формула a⁰ = 1 здесь не подходит.

Ошибка: заменять a⁻ⁿ на −aⁿ. Минус в показателе задаёт обратное число, а не знак перед степенью: например, 2⁻² = 1/4. Для самопроверки сначала перепишите степень дробью 1/aⁿ и лишь затем вычисляйте.

Ошибка: складывать показатели при сложении степеней или перемножать их при умножении одинаковых оснований. Правило сложения показателей возникает именно из объединения множителей при умножении степеней, а не из сложения выражений. Проверьте действие между степенями: при умножении показатели складывают, при делении вычитают.

Ошибка: терять скобки и путать (−a)ⁿ с −aⁿ. В первом случае возводится в степень всё отрицательное основание, поэтому при чётном показателе результат положителен; во втором минус стоит перед степенью. Подставьте простое число, например a = 2: (−2)² = 4, но −2² = −4.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение степени с натуральным показателем, правила умножения и деления степеней, а также понятие взаимно обратных чисел. Они объясняют, почему показатели складываются или вычитаются и откуда появляется дробь при отрицательном показателе. Новые записи помогают преобразовывать алгебраические выражения и выполнять действия с дробями. Позже эти знания пригодятся при изучении степеней с рациональными показателями и стандартного вида числа.

Что запомнить

• При a ≠ 0: a⁰ = 1.
• При a ≠ 0: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Нулевое основание не допускается при нулевом и отрицательном показателях.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
• Степень отрицательного числа с чётным показателем положительна, с нечётным — отрицательна.