8.1. Понятие степени с целым показателем

Определения и обозначения

Целый показатель степени — это целое число, которое может быть положительным, нулём или отрицательным. Если показатель положительный и равен натуральному числу n, то aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. Такое понятие расширяет привычную запись степени: теперь с помощью показателя можно обозначать не только многократное умножение.

Степенью с нулевым показателем называют выражение a⁰, где основание a не равно нулю; по определению a⁰ = 1. Это правило позволяет применять свойства степеней и тогда, когда при вычислениях показатель становится равным нулю. Например, для любого ненулевого числа подходит равенство 7⁰ = 1.

Степенью с отрицательным целым показателем называют выражение a⁻ⁿ, где a ≠ 0, а n — натуральное число. По определению a⁻ⁿ = 1/aⁿ, то есть такая степень равна обратному числу к положительной степени. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8; это удобно, когда при преобразовании выражения получается отрицательный показатель.

При нулевом и отрицательном показателях основание должно быть ненулевым. Для нулевого показателя определение связано с делением степени на такую же степень, а делить на ноль нельзя; для отрицательного показателя в знаменателе появляется aⁿ. Поэтому выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены, хотя 0ⁿ = 0 при натуральном n.

Как это устроено

Степень с натуральным показателем сначала понимают как произведение одинаковых множителей: a⁴ = a · a · a · a. Такая запись короче самого произведения и помогает быстро выполнять вычисления. Но привычное правило для произведения не объясняет, что делать, если показатель равен нулю или отрицателен. Чтобы расширить понятие степени, определения выбирают так, чтобы они не противоречили уже известным правилам.

Рассмотрим деление степеней с одинаковым ненулевым основанием. По правилу деления aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, а если сократить одинаковые ненулевые множители, получится 1. Значит, чтобы правило степеней оставалось верным, нужно принять a⁰ = 1 при a ≠ 0. Условие ненулевого основания здесь обязательно: при a = 0 дробь 0ⁿ / 0ⁿ не имеет смысла.

Отрицательный показатель тоже получается из правила деления степеней: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если m меньше n, то показатель результата отрицателен; например, a² / a⁵ = a⁻³. Но ту же дробь можно сократить иначе: в знаменателе остаются три множителя a, поэтому a² / a⁵ = 1/a³. Отсюда следует определение a⁻³ = 1/a³, а в общем случае a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0.

Проследить появление новых показателей можно на цепочке степеней числа 2. При уменьшении показателя на единицу значение каждый раз делится на основание: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, затем 2⁰ = 1 и 2⁻¹ = 1/2. Дальше получаем 2⁻² = 1/4: деление на 2 продолжается. Так видно, почему отрицательные показатели дают дроби и почему нулевая степень ненулевого числа равна единице.

С нулевым основанием нужно обращаться отдельно. Если показатель положительный, то 0ⁿ — это произведение нулей, поэтому результат равен нулю. Для 0⁰ нельзя использовать определение нулевой степени: оно требует ненулевого основания. А 0⁻ⁿ по правилу отрицательной степени означало бы 1/0ⁿ, то есть деление на ноль; оба выражения не определены.

Степень в зависимости от целого показателя

Сначала определите знак показателя, затем проверьте соответствующую строку и условие на основание. Если показатель отрицательный, запишите дробь с единицей в числителе и положительной степенью в знаменателе. Для нулевого основания допустима только положительная степень.

Разбор задач

Вычислите 2⁴ и 2⁻⁴

В первом выражении показатель положительный, поэтому нужно перемножить четыре множителя 2. Во втором выражении основание то же, но показатель отрицательный. По определению такую степень заменяем обратным числом к положительной степени. Сначала вычислим положительную степень, а затем запишем результат в виде дроби.

1. 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
2. 2⁻⁴ = 1/2⁴, поскольку отрицательный показатель означает обратное число.
3. Подставляем найденное значение: 2⁻⁴ = 1/16.

Ответ: 2⁴ = 16; 2⁻⁴ = 1/16. Отрицательный показатель не делает число отрицательным: он переносит положительную степень в знаменатель дроби. Здесь основание равно 2, поэтому деления на ноль нет.

Вычислите (−3)⁰, 0⁵ и определите, какие из выражений 0⁰ и 0⁻² имеют смысл

В каждом выражении отдельно проверим основание и показатель. Число −3 не равно нулю, значит, к нему можно применить правило нулевой степени. У 0⁵ показатель положительный, поэтому выражение можно вычислить как произведение нулей. Для 0⁰ и 0⁻² основание нулевое, а показатели нулевой и отрицательный, так что эти случаи требуют отдельной проверки.

1. (−3)⁰ = 1, потому что основание ненулевое.
2. 0⁵ = 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
3. 0⁰ не определено: правило a⁰ = 1 действует только при a ≠ 0.
4. 0⁻² не определено: по правилу отрицательной степени потребовалось бы вычислить 1/0², то есть делить на ноль.

Ответ: (−3)⁰ = 1, 0⁵ = 0; выражения 0⁰ и 0⁻² не имеют смысла. Проверка условия на основание помогает не применять правило степени там, где оно не действует. В частности, ноль допустим в качестве основания только при положительном показателе.

Упростите выражение 5⁻² · 5⁴ / 5³ и запишите результат без отрицательного показателя

У всех степеней одно и то же основание 5, поэтому показатели можно объединить по правилам умножения и деления степеней. При умножении показатели складываются, при делении — вычитаются. После этого проверим, получился ли отрицательный показатель. Если да, заменим его обратной дробью с положительным показателем в знаменателе.

1. 5⁻² · 5⁴ = 5⁻²⁺⁴ = 5².
2. Делим на 5³: 5² / 5³ = 5²⁻³ = 5⁻¹.
3. Записываем без отрицательного показателя: 5⁻¹ = 1/5¹ = 1/5.

Ответ: 1/5. Проверить результат можно, объединив показатели сразу: −2 + 4 − 3 = −1, поэтому получается 5⁻¹. Основание 5 ненулевое, значит, отрицательную степень можно заменить дробью.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Так путают нулевой показатель с нулевым основанием и забывают, что нулевая степень ненулевого числа равна единице. Проверьте себя правилом aⁿ / aⁿ = 1 при a ≠ 0: разность показателей равна нулю, поэтому a⁰ = 1.

Ошибка: записывать a⁻ⁿ как −aⁿ. Минус относится к показателю, а не ставится перед значением степени; определение требует взять обратное число. Для проверки сравните 2⁻² = 1/4 и −2² = −4: это разные числа.

Ошибка: считать, что 0⁰ = 1 или 0⁻ⁿ определено. Ученик может механически применить формулу для ненулевого основания или забыть проверить знаменатель. Подставьте основание в условие определения: ноль не подходит, а отрицательная степень нуля привела бы к делению на ноль.

Ошибка: применять правило отрицательной степени, не проверяя основание. Формула a⁻ⁿ = 1/aⁿ требует деления, поэтому при a = 0 она неприменима. Перед преобразованием проверьте, что основание отлично от нуля; отрицательное основание разрешено, нулевое — нет.

Связь с другими темами

Для понимания новых видов степеней нужно уметь умножать одинаковые множители и знать смысл степени с натуральным показателем. Эти знания помогают увидеть, как получаются правила для нулевого и отрицательного показателей. Степени с целыми показателями используют при преобразовании выражений и применении свойств степеней.

Отрицательные показатели также помогают записывать числа в стандартном виде и работать с дробями. Например, запись 1/aⁿ можно заменить степенью a⁻ⁿ, если a ≠ 0. Поэтому умение переходить от отрицательного показателя к дроби пригодится в дальнейших вычислениях.

Что запомнить

• Целый показатель бывает положительным, нулём или отрицательным.
• При n > 0: aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
• Для a ≠ 0: a⁰ = 1.
• Для a ≠ 0 и натурального n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Ноль можно возводить в положительную степень: 0ⁿ = 0.
• Выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены.