8.2. Свойства степени с целым показателем

Определения и обозначения

Степень с целым показателем — это степень, показатель которой может быть положительным, нулём или отрицательным целым числом. Например, 2³, 2⁰ и 2⁻³ — степени с целыми показателями. Такое расширение позволяет единообразно записывать вычисления не только с натуральными числами в показателе.

Нулевая степень ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 5⁰ = 1, а 0⁰ этим правилом не задаётся. Определение нужно, чтобы при делении степеней с одинаковым основанием сохранялось привычное правило вычитания показателей.

Отрицательный показатель задаёт обратное число: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0 и натуральном n. Так, 2⁻³ означает 1/2³, то есть 1/8. Запись с отрицательным показателем удобна, когда в вычислениях появляются дроби или нужно сократить степень в знаменателе.

Основание степени — число, которое возводят в степень: в записи aⁿ основание — a, а показатель — n. При нулевом и отрицательном показателе основание не может быть равно нулю. Это ограничение нужно потому, что делить на ноль нельзя, а определения a⁰ и a⁻ⁿ связаны с делением.

Как это устроено

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Для положительных показателей это видно из записи через множители: например, a² · a³ содержит пять множителей a. Когда показатели становятся целыми, правило сохраняют, чтобы преобразования оставались согласованными с уже знакомым умножением степеней.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если в числителе и знаменателе одинаковое число множителей, они сокращаются, поэтому aⁿ : aⁿ = 1. Чтобы и правило вычитания показателей дало тот же результат, разность n − n должна соответствовать степени 1, то есть a⁰.

Поэтому нулевая степень ненулевого числа должна равняться единице. Если бы a⁰ означало что-то другое, правило деления перестало бы работать в случае одинаковых степеней: aⁿ : aⁿ всё равно равно 1. Условие a ≠ 0 необходимо, ведь деление 0 на 0 невозможно.

Отрицательный показатель появляется, когда при делении показатель в знаменателе больше показателя в числителе. Например, aⁿ : aⁿ⁺ᵏ = a⁻ᵏ, но если сократить одинаковые множители, получится 1/aᵏ. Значит, a⁻ᵏ = 1/aᵏ: отрицательная степень и есть обратная положительная степень, а основание должно быть ненулевым.

Правила для произведения и частного тоже сохраняются: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ и (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Они работают, потому что возведение в степень означает одинаковое действие с каждым множителем или с числителем и знаменателем дроби. Для отрицательных показателей важно, чтобы основания и знаменатель не были нулём: иначе в преобразованиях возникло бы деление на ноль.

Свойства степени с целым показателем

Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверьте, что основания, для которых показатель нулевой или отрицательный, не равны нулю. Затем выберите строку, подходящую к действию: умножению, делению или возведению в степень. При делении следите за порядком вычитания: показатель числителя минус показатель знаменателя.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2⁻³. Отрицательный показатель заменяем обратной степенью с положительным показателем. Затем вычисляем обычную степень и обращаем полученное число.

1. Записываем по определению: 2⁻³ = 1/2³. Это можно сделать, потому что основание 2 не равно нулю.
2. Вычисляем положительную степень: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Значит, 1/2³ = 1/8.
3. Проверяем смысл знака: результат положительный, а отрицательным был показатель, не само значение. Ответ: 1/8.

Задача 2. Упростите a⁵ · a⁻² при a ≠ 0. Основания одинаковые, значит, при умножении складываем показатели. Получившуюся степень можно оставить в положительной форме.

1. Применяем правило произведения: a⁵ · a⁻² = a⁵⁺⁽⁻²⁾. Важно прибавить именно отрицательное число, а не вычесть его повторно.
2. Складываем показатели: 5 + (−2) = 3. Поэтому выражение равно a³.
3. Проверяем результат, например при a = 2: 2⁵ · 2⁻² = 32 · 1/4 = 8, и 2³ = 8. Ответ: a³.

Задача 3. Упростите (2x⁻²y³)² : (4x⁻¹y), где x ≠ 0 и y ≠ 0. Сначала раскроем степень скобки, а затем разделим степени одинаковых оснований. В конце заменим отрицательные показатели дробями.

1. Возводим каждый множитель в квадрат: (2x⁻²y³)² = 4x⁻⁴y⁶. Число 2² равно 4, показатели перемножаются: (x⁻²)² = x⁻⁴, (y³)² = y⁶.
2. Делим полученное выражение на 4x⁻¹y. Числовые коэффициенты сокращаются, а для одинаковых оснований вычитаем показатели: x⁻⁴ : x⁻¹ = x⁻³, y⁶ : y = y⁵.
3. Получаем x⁻³y⁵ и заменяем отрицательную степень: x⁻³ = 1/x³. Ответ: y⁵/x³.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0⁰ = 1. Это происходит, если забыть условие a ≠ 0 в правиле нулевой степени. Проверяйте основание перед применением формулы: для нуля выражение 0⁰ не определено.

Ошибка: применять отрицательную степень к нулю. Например, запись 0⁻² потребовала бы вычислить 1/0², а делить на ноль нельзя. Перед использованием формулы a⁻ⁿ = 1/aⁿ убедитесь, что основание не равно нулю.

Ошибка: считать a⁻ⁿ равным −aⁿ. Так путают знак показателя со знаком перед выражением. Для проверки замените степень дробью: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, тогда как −aⁿ — противоположное число.

Ошибка: при делении степеней с одинаковым основанием складывать показатели. Складывают их при умножении, а при делении вычитают показатель знаменателя из показателя числителя. Проверить правило можно на a⁵ : a²: после сокращения остаётся a³, а не a⁷.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о степени с натуральным показателем, умножении и делении степеней, а также об обратном числе. Например, чтобы понять a⁻ⁿ, нужно знать, что обратное к aⁿ число равно 1/aⁿ, если a ≠ 0.

Свойства целых показателей помогают упрощать дробные выражения: степени одинаковых оснований можно объединять, а отрицательные показатели переносить в знаменатель. Те же правила полезны при вычислениях с очень большими и очень малыми числами, которые удобно записывать в виде произведения степени и коэффициента.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Для a ≠ 0 верно a⁰ = 1.
• Для a ≠ 0 верно a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Основание степени с нулевым или отрицательным показателем не может быть нулём.