1.6 Свойства степени с целым показателем

Определения и обозначения

Целый показатель — число n, принадлежащее множеству целых чисел: положительное, отрицательное или нуль. К целым относятся, например, −3, 0 и 5. Это обозначение позволяет рассматривать больше степеней, чем только степени с натуральными показателями.

Степень с целым показателем — выражение aⁿ. При положительном n оно означает обычное умножение одинаковых множителей, при n = 0 даёт единицу, а при отрицательном n связано с обратной степенью. Такое расширение помогает применять одни и те же правила к разным выражениям.

Нулевая степень — степень ненулевого числа с показателем 0: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 7⁰ = 1 и (−4)⁰ = 1. Условие a ≠ 0 обязательно, потому что выражение 0⁰ в этой теме не определяют.

Отрицательная степень — степень с показателем −n, равная обратному числу к aⁿ: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Например, 5⁻² = 1/5² = 1/25. Такая запись заменяет деление единицы на степень более короткой формой.

Как это устроено

Расширение понятия степени сохраняет правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются. Если показатели противоположны, например m и −m, их сумма равна нулю, поэтому появляется a⁰. Так отрицательные показатели не являются отдельным случайным правилом, а логично продолжают уже известное свойство степеней.

Равенство a⁰ = 1 следует из деления одинаковых ненулевых степеней. С одной стороны, aᵐ/aᵐ = 1, потому что ненулевое число делится само на себя. С другой стороны, по правилу частного степеней это выражение равно aᵐ⁻ᵐ = a⁰, значит, a⁰ = 1.

Формула a⁻ⁿ = 1/aⁿ нужна, чтобы произведение степеней с одинаковым основанием продолжало работать. Действительно, aⁿ · a⁻ⁿ = aⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = a⁰ = 1. Поэтому отрицательная степень должна быть обратным числом к положительной степени, а не числом с изменившимся знаком.

Правила произведения, частного, степени степени, произведения и частного выражений выводятся из определения степени и сокращения одинаковых множителей. Они действуют для целых показателей, если все участвующие выражения определены. Нулевое основание нельзя возводить в отрицательную степень: это означало бы деление на 0, а выражение 0⁰ в рамках темы не рассматривают.

Свойства степени с целым показателем

Сначала определите, какое свойство подходит к выражению: одинаковые основания при умножении или делении, вложенная степень, произведение либо частное. Затем проверьте ограничения, особенно наличие нулевого знаменателя и отрицательных показателей. После преобразования удобно заменить отрицательные показатели дробями или вычислить получившуюся степень.

Разбор задач

Задача 1

Условие: упростить выражение 2⁵ · 2⁻³ и найти его значение. Основания одинаковые, поэтому сразу применяем правило произведения степеней. Получившийся показатель уже неотрицателен.

1. Складываем показатели: 2⁵ · 2⁻³ = 2⁵⁺⁽⁻³⁾ = 2².
2. Вычисляем степень: 2² = 4.

Ответ: 4. Смысл преобразования можно проверить через дробь: 2⁵ · 2⁻³ = 2⁵ · 1/2³ = 2².

Задача 2

Условие: упростить (3a⁻²b³)/(9a⁻⁵b) при a ≠ 0, b ≠ 0. Числовые коэффициенты делим отдельно, а степени одинаковых оснований — по правилу частного. Условия гарантируют, что все дроби имеют смысл.

1. Делим коэффициенты: 3/9 = 1/3.
2. Для a вычитаем показатели: a⁻²/a⁻⁵ = a⁻²⁻⁽⁻⁵⁾ = a³.
3. Для b получаем b³/b = b³⁻¹ = b².
4. Объединяем результаты: (3a⁻²b³)/(9a⁻⁵b) = a³b²/3.

Ответ: a³b²/3. Отрицательные показатели исчезли после вычитания, поэтому дополнительное преобразование дроби не требуется.

Задача 3

Условие: доказать и упростить выражение ((x⁻²y³)/(z⁻¹))² при x ≠ 0, z ≠ 0. Сначала разберём частное внутри скобок, затем возведём произведение в квадрат. Все действия допустимы благодаря указанным ограничениям.

1. Деление на z⁻¹ заменяем умножением на z: x⁻²y³/z⁻¹ = x⁻²y³ · z.
2. Заменяем x⁻² обратной степенью: x⁻²y³z = y³z/x².
3. Возводим дробь в квадрат: (y³z/x²)² = (y³)²z²/(x²)².
4. Перемножаем показатели: (y³)²z²/(x²)² = y⁶z²/x⁴.

Ответ: y⁶z²/x⁴. Каждый шаг использует отдельное свойство: отрицательный показатель, степень частного, степень произведения и степень степени.

Типичные ошибки

a⁰ = 0 вместо a⁰ = 1. Ошибку допускают из-за смешения нулевого показателя с нулевым основанием. Проверьте себя через aᵐ/aᵐ: для ненулевого a частное равно 1.

a⁻ⁿ = −aⁿ. Здесь путают отрицательный показатель со знаком минус перед числом. Нужно заменить степень на обратную: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, а затем при необходимости вычислить её.

При делении показатели складывают. Сложение относится к умножению, а при делении действует разность: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Полезно записать несколько одинаковых множителей и сократить их попарно.

Отрицательную степень применяют к нулю или забывают условие знаменателя. Выражение 0⁻ⁿ потребовало бы деления на нуль, поэтому оно не определено. Перед решением проверьте, что основания с отрицательными показателями и знаменатели не равны нулю.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны определение степени с натуральным показателем, действия с дробями и свойства равенств. Без этих знаний трудно понять, почему показатели складываются или вычитаются. Повторите сокращение дробей и правила умножения степеней.

Новые свойства помогают преобразовывать алгебраические дроби, одночлены и выражения с переменными. С их помощью сокращают одинаковые множители и избавляются от лишних отрицательных показателей. Это делает вычисления короче и понятнее.

Позже правила пригодятся при изучении стандартного вида числа, корней, рациональных выражений и научной записи чисел. Отрицательные степени особенно полезны для записи очень малых и очень больших величин. Поэтому важно не только запомнить формулы, но и соблюдать ограничения.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• a⁰ = 1 только при a ≠ 0.
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0.
• Степень произведения равна произведению соответствующих степеней.
• Перед применением свойства нужно проверить допустимость оснований и знаменателей.