1.7. Решение уравнений и задач

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в знаменатель или в рациональные выражения, то есть в дроби и выражения с делением. Например, 3/(x − 2) = 6/(x + 1) — рациональное уравнение. Для его решения недостаточно только перенести слагаемые: сначала нужно выяснить, при каких x дроби существуют.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения неизвестной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. В дроби знаменатель не может быть равен нулю, поэтому для 1/x + 2/(x + 3) = 1 ОДЗ задаётся условиями x ≠ 0 и x ≠ −3. ОДЗ помогает не рассматривать невозможные значения.

Корень уравнения — значение неизвестной, которое обращает уравнение в верное равенство. Например, если после решения получилось x = 5 и подстановка пятёрки в исходное уравнение даёт равенство, 5 является корнем. Корни записывают в ответе только после проверки.

Посторонний корень — значение, полученное в ходе преобразований, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Такое значение может появиться, если при умножении забыли об ограничениях или преобразование изменило набор решений. Подстановка в исходное уравнение позволяет его обнаружить.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что равенство имеет смысл только там, где определены все его части. Например, в уравнении 5/(x − 4) = 2 знаменатель требует условия x ≠ 4. Если не записать это ограничение, можно получить значение, при котором исходная дробь не существует, и ошибочно назвать его корнем.

Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель. При умножении каждой части на одно и то же ненулевое выражение равенство сохраняется: если A = B, то A·M = B·M. Именно поэтому сначала фиксируют ОДЗ: там общий знаменатель не равен нулю, и преобразование является равносильным.

После умножения дроби сокращаются, а вместо рационального уравнения получается линейное или квадратное. Например, множитель x(x + 3) устраняет знаменатели x и x + 3, если x ≠ 0 и x ≠ −3. Затем раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и находят кандидатов на корни.

Проверка нужна потому, что преобразования могли выполняться не на всей числовой прямой или могли добавить недопустимые значения. Каждый кандидат подставляют именно в исходное уравнение, а не только в упрощённое. Значение, при котором знаменатель равен нулю или равенство неверно, исключают как посторонний корень.

Алгоритм решения таков: найти ОДЗ, привести дроби к общему знаменателю, умножить обе части на него, решить полученное уравнение и выполнить проверку. В текстовой задаче сначала обозначают неизвестную, выражают связанные величины через неё и учитывают ограничения смысла. После вычислений проверяют не только равенство, но и подходит ли ответ к условию, например является ли расстояние положительным.

Этапы решения рационального уравнения и текстовой задачи

Таблица показывает общий порядок действий. Ею удобно пользоваться как планом: переходить к следующему этапу стоит после проверки предыдущего. В задаче добавляются ограничения, связанные со смыслом величин.

Разбор задач

Задача 1

Условие: решить уравнение 3/(x − 2) = 6/(x + 1). Сначала проверим знаменатели, чтобы не включить в решение недопустимые значения.

1. ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −1.
2. Умножаем обе части на (x − 2)(x + 1). Получаем 3(x + 1) = 6(x − 2), потому что оба множителя ненулевые на ОДЗ.
3. Раскрываем скобки: 3x + 3 = 6x − 12, откуда 15 = 3x и x = 5.
4. Проверка: 3/(5 − 2) = 1, а 6/(5 + 1) = 1. Корень допустим.

Ответ: x = 5.

Задача 2

Условие: решить уравнение 1/x + 2/(x + 3) = 1. Здесь общий знаменатель содержит оба выражения с неизвестной.

1. ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ −3.
2. Умножаем уравнение на x(x + 3): x + 2x = x(x + 3).
3. Получаем 3x = x² + 3x, значит x² = 0 и x = 0.
4. Число 0 не входит в ОДЗ, поэтому это посторонний корень и в ответ не включается.

Ответ: корней нет.

Задача 3

Условие: велосипедист ехал из пункта A в пункт B со скоростью 12 км/ч, а обратно — со скоростью 8 км/ч. На обратный путь он затратил на 1,5 часа больше. Найти расстояние между пунктами.

1. Пусть x км — расстояние между пунктами, причём x > 0. Время движения равно расстоянию, делённому на скорость.
2. Время туда — x/12, время обратно — x/8. Составляем уравнение x/8 − x/12 = 1,5.
3. Приводим к общему знаменателю 24: 3x/24 − 2x/24 = 1,5, поэтому x/24 = 1,5 и x = 36.
4. Проверяем: 36/8 = 4,5 ч, 36/12 = 3 ч, разность равна 1,5 ч. Расстояние положительно и условие выполнено.

Ответ: 36 км.

Типичные ошибки

Не находят ОДЗ и допускают значение, при котором знаменатель равен нулю. Ошибка возникает из-за привычки сразу выполнять преобразования. Проверьте все знаменатели до решения и отдельно сравните найденные корни с ОДЗ.

Сокращают или умножают дроби без учёта общего знаменателя либо выполняют действие только в одной части уравнения. Так нарушается равенство и меняются решения. Убедитесь, что множитель записан у обеих частей и общий знаменатель составлен правильно.

Считают любой корень преобразованного уравнения корнем исходного. После умножения на выражение с неизвестной могли появиться недопустимые значения. Подставьте каждый кандидат в исходное уравнение, а не только в упрощённую запись.

В текстовой задаче неверно выражают величину через скорость, время и расстояние или забывают единицы измерения. Например, время находят по формуле t = s/v, а не t = sv. Запишите формулу, проверьте единицы и оцените, имеет ли ответ смысл.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений нужны действия с алгебраическими дробями, разложение многочленов на множители, а также навыки решения линейных и квадратных уравнений. Эти умения помогают быстро находить общий знаменатель и упрощать полученную запись.

Рациональные уравнения применяются в задачах на движение, совместную работу, смеси и проценты. Позже они понадобятся при изучении функций и неравенств, где также приходится учитывать ОДЗ и ограничения на переменные.

Что запомнить

• Сначала находят ОДЗ, затем решают уравнение.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Умножать уравнение на общий знаменатель можно только с учётом ОДЗ.
• Найденные значения обязательно проверяют в исходном уравнении.
• В текстовой задаче неизвестную выбирают с учётом смысла условия.
• Ответ задачи должен соответствовать единицам измерения и ограничениям условия.