"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Уравнение — равенство с переменной, истинность которого зависит от её значения. Решить уравнение — значит найти все значения, превращающие его в верное равенство, или доказать, что таких значений нет. Для этого преобразуют обе части так, чтобы корни сохранились, а переменная оказалась отдельно от чисел. Уравнения помогают не только находить неизвестные в выражениях, но и переводить условия текстовых задач на язык математики.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее переменную. Например, в записи 2x + 3 = 9 буква x обозначает число, которое пока неизвестно. При разных значениях x равенство может быть верным или неверным, поэтому уравнение задаёт условие, которому должно удовлетворять неизвестное.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Для уравнения 2x + 3 = 9 числу 3 соответствует равенство 2 · 3 + 3 = 9. Понятие корня позволяет точно сказать, какие значения подходят, а какие нет.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходит одно значение, иногда несколько, а иногда ни одного. Поэтому недостаточно подобрать подходящее число: нужно убедиться, что других корней не существует.
Равносильные уравнения — уравнения, у которых одно и то же множество корней. Например, x + 4 = 10 и x = 6 равносильны: оба имеют единственный корень 6. При решении уравнения удобно заменять его равносильным, более простым, чтобы постепенно найти неизвестное, не потеряв подходящие значения.
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, равенство сохранится: равные величины изменятся одинаково. При этом каждое значение переменной, которое делало части равными, по-прежнему подходит, и никакое неподходящее значение не станет корнем. Например, из x − 5 = 8 можно получить x = 13, прибавив 5 к обеим частям. Вычитание числа действует по тому же принципу, потому что вычесть число — значит прибавить противоположное.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство, поскольку одинаково изменяет обе равные величины. Деление работает так же, но делитель обязательно должен быть ненулевым: на ноль делить нельзя. Эти преобразования не меняют корни, поэтому помогают упростить уравнение, например убрать дроби или избавиться от числового множителя при переменной. Если число, на которое делят, зависит от переменной, нужно отдельно учитывать возможность его равенства нулю.
Чтобы собрать неизвестные слагаемые в одной части, используют свойства равенств: прибавляют или вычитают одинаковые выражения с обеих сторон. Так возникает правило переноса слагаемого через знак равенства с заменой его знака на противоположный. Например, в уравнении 5x − 4 = 2x + 8 слагаемое 2x можно перенести влево как −2x, а −4 вправо как +4. После приведения подобных слагаемых переменная остаётся в одной части, числа — в другой, и её значение можно найти делением.
Найденное значение полезно подставить в исходное уравнение вместо переменной и проверить, совпадают ли левая и правая части. Проверяют именно первоначальную запись, потому что ошибка могла возникнуть во время преобразований, а проверка только последней строки её не обнаружит. Если получились одинаковые числа, найденное значение действительно является корнем исходного уравнения. Такая проверка подтверждает корень, хотя полноту решения обеспечивают верные преобразования.
В текстовой задаче сначала выбирают неизвестную величину и обозначают её буквой. Затем остальные величины выражают через неё, используя условие: например, «на 6 больше» означает прибавить 6, а «в 3 раза меньше» — разделить на 3. Из связи между величинами составляют уравнение, решают его и проверяют, соответствует ли найденное значение смыслу задачи. Такой порядок превращает описание словами в математическую запись, которую можно вычислить.
| Преобразование | Что делают с обеими частями | Условие сохранения корней |
|---|---|---|
| Прибавление числа | Прибавляют одно и то же число | Прибавляемое число одинаково в обеих частях |
| Вычитание числа | Вычитают одно и то же число | Вычитаемое число одинаково в обеих частях |
| Умножение на число | Умножают обе части на один множитель | Множитель одинаков в обеих частях |
| Деление на число | Делят обе части на один делитель | Делитель одинаков и не равен нулю |
| Перенос слагаемого в другую часть | Прибавляют противоположное слагаемое к обеим частям | Перенос выполняют с изменением знака |
Пользуйся таблицей как проверкой каждого преобразования: спроси себя, что именно изменено слева и справа. При переносе не забывай, что знак меняется потому, что к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Перед делением отдельно убедись, что делитель не равен нулю.
Нужно оставить слагаемое с x отдельно, а число перенести к правой части. Сначала устраним вычитание 7, затем избавимся от множителя 3 перед переменной. После решения подставим ответ в исходную запись.
Ответ: x = 6.
Сначала раскроем скобки, чтобы увидеть все слагаемые. Затем соберём слагаемые с переменной слева, а числа справа; после этого приведём подобные. Наконец проверим полученное значение в исходном уравнении, где скобки ещё не раскрыты.
Ответ: x = 14/3.
В двух коробках было поровну карандашей. Из первой переложили во вторую 6 карандашей, после чего во второй стало в 3 раза больше карандашей, чем в первой; нужно найти начальное количество. Обозначим его через x: тогда после перекладывания в первой коробке останется x − 6, а во второй станет x + 6. Так мы выражаем обе изменившиеся величины через одну неизвестную.
Ответ: сначала в каждой коробке было по 12 карандашей.
Переносят слагаемое, не меняя знак. Так делают, потому что воспринимают перенос как простое перемещение через знак равенства, но он на самом деле означает прибавление противоположного слагаемого к обеим частям. Например, из x + 5 = 9 получится x = 9 − 5, а не x = 9 + 5. Для самопроверки прибавь или вычти одно и то же число с обеих сторон и сравни результат с записью переноса.
Изменяют только одну часть при умножении или делении. Иногда ученик хочет быстрее убрать множитель и выполняет действие лишь рядом с переменной. Но тогда изменяется только одна сторона, равенство может нарушиться, а корень — потеряться. Проверяй, что действие записано для обеих частей уравнения, например деление выглядит так: 3x/3 = 18/3.
Делят на выражение, которое может быть нулём. Так поступают, когда хотят сократить запись, не проверив значение делителя. Деление на ноль невозможно, а деление на переменное выражение может исключить корень, при котором это выражение равно нулю. Перед делением установи, что делитель ненулевой; если это не ясно, рассмотри отдельно случай, когда он равен нулю.
Записывают ответ к задаче без проверки смысла и единиц измерения. Даже верно решённое уравнение может дать значение, которое не подходит ситуации, например отрицательное число предметов. Ошибку допускают, когда считают алгебраический результат достаточным и забывают вопрос задачи. Подставь найденное значение в условие, проверь отношения между величинами и укажи ответ с подходящей единицей измерения.
Для решения уравнений нужны навыки действий с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Также важно уметь раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, иначе преобразования будут сложнее и возрастёт риск ошибки. Уравнения помогают переводить текстовые задачи в короткую математическую запись и находить неизвестные величины. Позже те же идеи пригодятся при изучении более сложных уравнений и систем уравнений, где неизвестных несколько.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором равенство становится верным. Его можно проверить, подставив значение вместо переменной.
Почему можно прибавлять одно и то же число к обеим частям?
Если к равным величинам прибавить одно и то же число, они останутся равными. Поэтому ни одно подходящее значение переменной не исчезнет и новое не появится.
Когда уравнение можно делить на число?
Обе части можно разделить на одно и то же число, если оно не равно нулю. Деление на ноль не определено, а если делитель зависит от переменной, сначала нужно убедиться, что он не может оказаться нулём.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это сокращённая запись прибавления противоположного числа к обеим частям уравнения. Например, чтобы убрать +5 слева, вычитают 5 из обеих частей, и справа появляется −5.
Как проверить, правильно ли составлено уравнение к задаче?
Подставь найденное значение в уравнение и проверь, что оно обращается в верное равенство. Затем сравни получившиеся величины с условием задачи: они должны иметь правильный смысл и удовлетворять каждому указанному отношению.
§ 8. Решение уравнений и задач
