"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Уравнение, которое после упрощения превращается в линейное, можно решить с помощью знакомых действий: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и перенести члены. Цель — получить вид ax = b и найти значение переменной, если коэффициент a не равен нулю. Такие преобразования помогают справляться с более сложной записью, не меняя корней уравнения. В конце ответ проверяют подстановкой в исходную запись.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство с переменной, например 2x + 3 = 9. Требуется найти все значения переменной, при которых левая и правая части равны. Такие значения могут быть одним числом, несколькими числами или отсутствовать. Это определение помогает отличать решение уравнения от простого вычисления выражения.
Корень уравнения — значение переменной, которое обращает уравнение в верное равенство. Например, число 3 — корень уравнения 2x + 3 = 9, потому что после подстановки обе части равны 9. Решить уравнение значит найти все его корни. Понятие корня позволяет точно сформулировать ответ.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, 2x = 8 и x = 4 равносильны: корень у обоих уравнений один и тот же. При решении важно переходить от исходной записи к равносильным ей записям. Тогда найденные корни не потеряются и не появятся лишние.
Уравнение, сводящееся к линейному, — уравнение, которое после упрощений и равносильных преобразований становится линейным. Линейное уравнение с одной переменной можно привести к виду ax = b, где a и b — числа. Например, скобки или дроби могут скрывать такую простую форму. Это определение подсказывает, к какому результату нужно привести сложную запись.
Сложная запись не обязательно означает сложное решение: скобки, дроби и несколько слагаемых могут скрывать обычное линейное уравнение. Поэтому сначала уравнение упрощают, а не пытаются угадывать корень по его виду. Преобразования постепенно убирают лишние действия вокруг переменной. В результате можно получить ax = b и решить задачу известным способом.
Раскрытие скобок заменяет произведение на сумму или разность, а приведение подобных слагаемых собирает одинаковые части выражения. Например, 3(x − 2) превращается в 3x − 6, потому что множитель 3 относится к каждому слагаемому в скобках. Если выполнить эти действия правильно, значение каждой части уравнения не изменится. Значит, сами корни тоже останутся прежними.
После упрощения удобно собрать слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой. Перенос через знак равенства меняет знак слагаемого, потому что на деле к обеим частям прибавляют противоположное ему число. Так, чтобы убрать −2 слева, прибавляют 2 к обеим частям. В итоге переменные не смешиваются с числами, и коэффициент при переменной становится виден.
Если в уравнении есть дроби с числовыми знаменателями, от них удобно избавиться умножением обеих частей на общий ненулевой знаменатель. Каждое слагаемое при этом умножают на этот множитель, поэтому знаменатели сокращаются. Если знаменатель содержит переменную, сначала нужно выяснить, при каких её значениях он обращается в ноль: такие значения недопустимы. Умножать или делить на выражение с переменной можно лишь с учётом этих ограничений.
Когда найдено значение переменной, его подставляют в исходное уравнение и вычисляют обе части. Проверка исходной записи важна, потому что ошибка могла появиться при раскрытии скобок или избавлении от знаменателей. Если равенство верно, найденное число подходит. Если нет, нужно перепроверить ход решения, начиная с первого преобразования.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Упростить обе части | Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые | Сохранять равенство при преобразованиях |
| Собрать слагаемые с переменной | Перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую | При переносе слагаемое меняет знак |
| Получить линейное уравнение | Привести к виду ax = b и найти x, если a ≠ 0 | Если коэффициент при x равен нулю, отдельно проверить полученное числовое равенство |
| Проверить ответ | Подставить найденное значение в исходное уравнение | Убедиться, что исходное равенство верно |
Используйте таблицу как порядок действий: каждый следующий шаг выполняйте после предыдущего. Если в уравнении нет скобок или дробей, ненужный этап можно пропустить. Особое внимание уделяйте допустимым значениям переменной и проверке в исходной записи.
В первом уравнении скобки — единственное, что мешает увидеть линейную форму. Раскроем их, а затем оставим переменную с одной стороны равенства. Условие: решите уравнение 3(x − 2) = 12.
Ответ: x = 6. Проверка в исходной записи подтвердила, что обе части равны.
Во втором уравнении переменная есть по обе стороны знака равенства. Соберём её слева, а числа справа; при переносе каждый член меняет знак. Условие: решите уравнение 5x − 7 = 2x + 8.
Ответ: x = 5. Совпадение значений обеих частей подтверждает решение.
В третьем уравнении знаменатели числовые, поэтому умножим на их общий знаменатель 6. Так дроби исчезнут, а уравнение станет удобным для упрощения. Условие: решите уравнение (x − 1)/3 + (x + 2)/2 = 4.
Ответ: x = 4. Проверка показывает, что корень подходит исходному уравнению.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Это происходит, если забыть, что перенос означает прибавление противоположного числа к обеим частям. Для проверки выполните это действие письменно: например, чтобы убрать +5, вычтите 5 с обеих сторон.
При раскрытии скобок можно умножить внешний множитель не на каждое слагаемое или потерять минус. Обычно так случается из-за спешки или невнимания к знакам. Проверьте результат, отдельно умножив множитель на каждый член скобок; например, −2(a − 3) = −2a + 6.
При избавлении от знаменателей ошибка возникает, если умножить не все слагаемые обеих частей на общий знаменатель. Тогда полученное уравнение может оказаться неравносильным исходному. Чтобы проверить себя, умножьте на общий знаменатель каждый член равенства и проследите, что он не пропущен ни в одной части.
Проверка только в упрощённом уравнении не обнаружит ошибку, допущенную при предыдущем преобразовании. Поэтому найденное число подставляют в исходную запись, сохраняя скобки и дроби. Если равенство не выполняется, нужно пересмотреть решение. Такая проверка также помогает убедиться, что знаменатель не обращается в ноль.
Для решения таких уравнений нужны умения раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с дробями. Если эти действия вызывают трудности, стоит повторить их отдельно: именно на них часто основаны преобразования. Полученный способ продолжает изучение линейных уравнений, но позволяет применять его к более сложной записи. Он также пригодится в текстовых задачах, которые решают с помощью уравнений.
Линейные уравнения служат основой для дальнейшего изучения уравнений: их приёмы помогают упрощать новые выражения. В текстовой задаче неизвестную величину обозначают переменной и составляют уравнение по условию. Затем уравнение решают и проверяют, подходит ли найденный результат ситуации. Так алгебраические преобразования связывают вычисления с практическими задачами.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется знак?
На самом деле слагаемое не перемещают: к обеим частям уравнения прибавляют число с противоположным знаком. Например, чтобы убрать +7 слева, вычитают 7 и слева, и справа. Поэтому справа появляется −7.
Можно ли умножить на знаменатель, если в нём есть переменная?
Можно, только если предварительно учесть, при каких значениях переменной знаменатель не равен нулю. Эти значения нельзя включать в ответ. После умножения найденное решение нужно проверить в исходном уравнении.
Что делать, если после упрощения переменная исчезла?
Нужно проверить получившееся числовое равенство. Если оно верно, исходное уравнение выполняется при всех допустимых значениях переменной; если неверно — корней нет.
Как понять, что преобразования не изменили корни?
Используйте преобразования, которые сохраняют равенство: выполняйте одинаковые действия с обеими частями, а при умножении или делении учитывайте допустимые значения переменной. Проверка ответа в исходном уравнении помогает обнаружить ошибку, но сама по себе не заменяет правильных преобразований.
Обязательно ли проверять ответ в исходном уравнении?
Проверка помогает заметить ошибки при раскрытии скобок, переносе слагаемых и работе со знаменателями. Подставлять нужно именно в исходную запись, а не только в упрощённое уравнение.
18. Решение уравнений, сводящихся к линейным
