19. Решение задач с помощью уравнений

Определения и обозначения

Неизвестное — величина, значение которой требуется найти в задаче; её обозначают буквой. Например, если нужно узнать число карандашей в коробке, удобно назвать его x. Так легче записать условие кратко и выполнять действия с искомой величиной.

Уравнение задачи — равенство с неизвестным, составленное по условию задачи. Например, если к неизвестному числу прибавили 5 и получили 12, связь записывается как x + 5 = 12. Уравнение позволяет применить знакомые способы решения и найти неизвестное.

Математическая модель задачи — запись условия с помощью величин и связей между ними, в частности уравнения. В ней текст заменяется короткими выражениями, но сохраняется смысл условия. Модель нужна, чтобы отделить вычисления от длинного описания и точно увидеть, какие величины связаны.

Проверка решения — подстановка найденного значения в уравнение и сопоставление результата с условием задачи. Она помогает заметить ошибку в вычислениях или убедиться, что результат имеет смысл. Поэтому одного найденного корня недостаточно: нужно ещё решить, подходит ли он для исходной ситуации.

Как это устроено

Сначала реши, какую величину обозначить буквой. Обычно берут ту, о которой спрашивают, потому что тогда найденное значение сразу отвечает на вопрос. Иногда удобнее выбрать другую величину: например, меньшую из двух, если большую легко выразить через неё. Перед вычислениями запиши словами, что именно означает x, иначе можно перепутать величины.

Затем отдели известные данные от неизвестных и установи, как они связаны. Слова «всего», «на столько-то больше», «в несколько раз» подсказывают разные отношения: сложение, разность или умножение. Не спеши переводить отдельные слова в знаки действий: сначала выясни, какие именно величины складываются или сравниваются. Так каждая часть будущей записи будет иметь понятный смысл.

Когда связи ясны, вырази остальные величины через выбранное неизвестное и составь уравнение. Например, если в одной коробке x предметов, а в другой вдвое больше, количество во второй равно 2x. Если известно общее количество, сумма x и 2x должна равняться этому числу. Уравнение получается не из отдельных слов, а из целого отношения, указанного в задаче.

Реши составленное уравнение тем способом, который уже изучен: выполни одинаковые действия с обеими частями и найди значение неизвестного. Но корень уравнения пока лишь кандидат на ответ. При переводе текста в выражения можно ошибиться, а иногда найденное число не соответствует смыслу величины. Поэтому решение уравнения и решение задачи — не одно и то же.

Для проверки подставь найденное значение в уравнение и убедись, что равенство верно. Затем вернись к условию: проверь, не получилось ли недопустимое количество предметов, цена или длина. Наконец, ответь именно на вопрос задачи, а не просто перепиши найденное число. Если спрашивали стоимость одной тетради, так и напиши, указав рубли.

Этапы решения задачи с помощью уравнения

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда понятно, что сделано на предыдущем. Если в уравнении возникла ошибка, вернись к выражению величин и проверь, верно ли прочитана связь из условия. Даже правильные вычисления заверши проверкой и ответом словами.

Разбор задач

Последовательные натуральные числа

Задача. Сумма двух последовательных натуральных чисел равна 41. Найдите эти числа. Последовательные числа отличаются на единицу, поэтому достаточно обозначить меньшее число и выразить через него большее. Их сумма должна совпасть с числом 41.

1. Пусть меньшее число равно x. Тогда следующее за ним число равно x + 1.
2. Составим уравнение по сумме: x + (x + 1) = 41.
3. Упростим: 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. Большее число равно 20 + 1 = 21.
4. Проверим: 20 + 21 = 41, оба числа натуральные и отличаются на единицу.

Ответ: 20 и 21. Проверка подтверждает и сумму, и то, что числа последовательные. Значение x обозначало именно меньшее число, поэтому второе число нужно было вычислить отдельно.

Стоимость тетрадей и ручки

Задача. За 3 одинаковые тетради и ручку стоимостью 40 рублей заплатили 190 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? Обозначим цену одной тетради буквой x, тогда цена трёх тетрадей равна 3x. Общая стоимость складывается из стоимости тетрадей и ручки.

1. Пусть одна тетрадь стоит x рублей. Тогда три тетради стоят 3x рублей.
2. По общей стоимости составим уравнение: 3x + 40 = 190.
3. Вычтем 40: 3x = 150. Разделим обе части на 3 и получим x = 50.
4. Проверим: три тетради по 50 рублей стоят 150 рублей, вместе с ручкой за 40 рублей — 190 рублей.

Ответ: одна тетрадь стоит 50 рублей. Мы нашли именно цену одной тетради, потому что так обозначили x. Проверка воспроизводит всю покупку и подтверждает общий расход.

Карандаши в коробках

Задача. В двух коробках 54 карандаша. В первой коробке карандашей в 2 раза больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке? Удобно обозначить количество в коробке, с которой сравнивают первую, то есть во второй. Тогда количество в первой выражается умножением на 2.

1. Пусть во второй коробке x карандашей. В первой тогда 2x карандашей.
2. Общее количество равно сумме: x + 2x = 54.
3. Получаем 3x = 54, откуда x = 18. В первой коробке 2 · 18 = 36 карандашей.
4. Проверим: 18 + 36 = 54, а 36 вдвое больше 18.

Ответ: в первой коробке 36 карандашей, во второй — 18. В ответе названы обе искомые величины, и проверены обе связи из условия. Положительные целые значения подходят для количества предметов.

Типичные ошибки

Обозначают буквой не ту величину или забывают, что именно равно x, а затем неверно выражают остальные величины. Так происходит, когда начинают писать уравнение, не разобравшись в обозначениях. Перед решением запишите рядом с буквой её смысл и проверьте выражения на простом примере: если x — меньшее число, следующее должно быть x + 1.

Записывают равенство по отдельным словам, не установив связь между величинами. Например, «в 2 раза больше» можно ошибочно принять за «на 2 больше». Ошибку допускают из-за спешки при чтении условия. Проверьте каждую часть уравнения вопросом: какая величина здесь записана и почему она равна другой части?

Решают уравнение правильно, но объявляют ответом любой его корень. Однако корень может не подходить по смыслу: например, отрицательное число не может быть количеством предметов. После решения подставьте значение в уравнение, а затем сравните его с условиями задачи и допустимыми значениями величины.

Записывают только число, не отвечая на вопрос. Число без названия величины может быть непонятно читателю, а отсутствие единиц делает ответ неполным. Перечитайте вопрос задачи и сформулируйте ответ с той же величиной; если указаны рубли, метры или другие единицы, добавьте их.

Связь с другими темами

Чтобы составить и решить уравнение, нужно уметь выполнять действия с числами и выражениями, а также решать линейные уравнения. Эти знания помогают перейти от текстового условия к вычислениям и найти неизвестное. Освоенный способ применяют в задачах на движение, покупки, возраст, части целого и совместную работу. В каждой такой задаче важно сначала установить связь между величинами.

Что запомнить

• Сначала выбери неизвестную величину и обозначь её буквой.
• Остальные величины вырази через выбранное неизвестное.
• Уравнение должно отражать связь, указанную в условии.
• После решения уравнения проверь корень по смыслу задачи.
• В ответе укажи именно то, что требуется найти.