"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Уравнение помогает превратить условие задачи в равенство с неизвестной величиной. Чтобы решить задачу, сначала выбирают, что обозначить буквой, затем выражают через неё связанные величины и записывают их зависимость. После решения уравнения нужно проверить, подходит ли найденное значение к условию и смыслу задачи. Такой способ удобен для задач на числа, количество предметов, движение и другие величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство с неизвестным, значение которого требуется найти. В задаче оно записывает связь между величинами из условия: например, что их сумма равна общему количеству. Поэтому уравнение помогает заменить длинное описание короткой математической записью.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным. Если корень найден, нужно понять, какую величину он обозначает в задаче. Так становится ясно, является ли он ответом или по нему ещё надо вычислить искомое.
Составить уравнение по условию задачи — значит записать с помощью равенства зависимость между известными и неизвестными величинами. Сначала буквами и выражениями представляют нужные количества, а затем связывают их так, как сказано в тексте. Это позволяет проверить, учтены ли все важные сведения.
Решить задачу с помощью уравнения — значит обозначить неизвестное, составить и решить уравнение, проверить результат и сформулировать ответ. Одного решения уравнения недостаточно: его корень может не подходить к смыслу задачи. Последняя проверка помогает убедиться, что ответ верен не только математически, но и по условию.
Решение начинают с выбора неизвестного, потому что от этого зависит, насколько просто выразить остальные величины. Обычно удобно обозначить буквой то, что требуется найти, но иногда лучше выбрать другую величину. Запиши, что означает буква, и укажи единицу измерения: например, x — количество карандашей в первой коробке. Тогда выражения с x будет легче соотнести с условием.
Чтобы перевести условие на язык уравнений, сначала вырази остальные величины через выбранную неизвестную. Например, если в одной коробке x карандашей, а в другой в два раза больше, во второй коробке 2x карандашей. Затем установи связь между величинами: если вместе их 54, сумма равна 54. Такой порядок нужен, чтобы равенство отражало, как именно величины связаны в задаче, а не просто содержало подходящие числа.
Составленное уравнение должно передавать именно условие задачи, потому что каждое его выражение означает конкретную величину или отношение. Если записать x + 2 = 54 вместо x + 2x = 54, получится, что во второй коробке на два карандаша больше, а не в два раза больше. Полезно проговорить каждую часть равенства обычными словами. Если пересказ не совпадает с текстом задачи, уравнение нужно исправить.
Полученное уравнение решают известными способами: выполняют одинаковые действия с обеими частями или используют свойства равенств. Например, в уравнении x + 2x = 54 сначала приводят подобные слагаемые и получают 3x = 54, а затем находят x. Преобразования должны сохранять равенство, иначе можно получить неверный результат. При каждом шаге полезно следить, что именно означает найденная буква.
После решения проверяют и вычисления, и смысл результата. Подставь корень в уравнение: равенство должно стать верным; затем проверь, соответствует ли значение условию и возможным величинам. Например, отрицательный корень не может обозначать длину или количество предметов. Проверка нужна, чтобы не принять математический корень за неподходящий ответ задачи, а запись ответа с единицами показывает, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Обозначение неизвестного | Выбрать величину, обозначить её буквой, указать единицы измерения. | Понятно ли, что означает буква и связана ли она с вопросом задачи. |
| Выразить связанные величины | Записать остальные величины через выбранное неизвестное. | Верно ли переданы отношения из условия. |
| Составление уравнения | Связать выражения равенством по условию задачи. | Соответствует ли каждая часть равенства тексту. |
| Решение уравнения | Найти корень, выполняя допустимые преобразования. | Не нарушено ли равенство при преобразованиях. |
| Проверка и ответ | Проверить результат и записать ответ с единицами. | Подходит ли корень по смыслу и выполняет ли условие. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда проверил предыдущий. Если уравнение не получается или ответ кажется странным, вернись к тому шагу, где величины выражались через неизвестное. Такой просмотр часто помогает найти ошибку в переводе условия.
Задача: задумали число; если к нему прибавить 8, получится 21. Нужно найти задуманное число. Обозначим его за x, потому что именно его требуется определить. Слова «к нему прибавить 8» описывают сумму x + 8, равную 21.
Ответ: 13. Здесь проверка простая: подстановка найденного числа сразу показывает, что оно удовлетворяет условию. Значит, корень уравнения совпадает с искомым числом.
Задача: в двух коробках 54 карандаша, во второй коробке карандашей в 2 раза больше, чем в первой. Обозначим количество карандашей в первой коробке за x. Тогда во второй 2x, а общее количество — сумма x и 2x. Такое обозначение переводит оба условия задачи в одно уравнение.
Ответ: в первой коробке 18 карандашей, во второй — 36. Здесь за x выбрано количество в первой коробке, поэтому одной найденной величины для ответа недостаточно. Вторую нужно вычислить через x.
Задача: велосипедист ехал 2 часа со скоростью на 3 км/ч больше, чем скорость пешехода, который за 2 часа прошёл 10 км. Найдём скорость велосипедиста. Обозначим её за x км/ч, тогда скорость пешехода равна x − 3 км/ч. Пешеход прошёл путь, равный скорости, умноженной на время, поэтому получаем уравнение 2(x − 3) = 10.
Ответ: скорость велосипедиста — 8 км/ч. Мы обозначили искомую скорость, а скорость пешехода выразили через неё. Проверка подтверждает, что разница скоростей и путь пешехода соответствуют условию.
Первая ошибка — не пояснить, что обозначает неизвестное и в каких единицах оно измеряется. Тогда легко перепутать, например, скорость и расстояние или количество предметов в первой и второй коробках. Ошибку предупреждает короткая запись перед уравнением: «x — ...». Перед решением проверь, что единицы и смысл переменной подходят к тому выражению, где она используется.
Можно перепутать слова «в 3 раза больше» и «на 3 больше». Первое означает умножить на 3, а второе — прибавить 3, поэтому вместо x + 3 иногда ошибочно записывают 3x или наоборот. Такая путаница возникает, если торопиться и сразу писать формулы по отдельным словам. Проверь себя, подставив простое число: если x = 5, то на 3 больше — 8, а в 3 раза больше — 15.
Ещё одна ошибка — записать уравнение, которое не соответствует условию. Например, при сумме количеств можно неверно указать одно слагаемое или саму сумму. Это случается, когда равенство составляют, не объяснив смысл его частей. Прочитай каждое выражение словами и сверь его с задачей: все ли величины и отношения учтены?
Нельзя считать любой корень ответом без проверки. Полученное значение может не подходить по смыслу, например быть отрицательной длиной, или при подстановке не выполнить условие задачи. Часто проверку пропускают, когда уравнение решено верно и кажется, что работа закончена. Подставь корень в уравнение и проверь его допустимость для описанной ситуации.
До решения текстовых задач нужно уметь составлять и решать простые уравнения, а также выполнять действия с числовыми и буквенными выражениями. Эти навыки нужны, чтобы переводить условие в равенство и правильно находить его корень. Если выражения и уравнения пока вызывают затруднения, стоит сначала повторить их преобразование.
Метод подходит для задач на числа, величины, движение и зависимости между величинами. В задачах на движение помогает связь: расстояние равно скорости, умноженной на время. Умение составлять уравнения пригодится и дальше, когда условия станут сложнее и в них будет несколько связанных величин.
Как понять, какую величину обозначить за x?
Чаще всего за x обозначают величину, которую нужно найти: так ответ сразу связан с корнем уравнения. Если удобнее, можно выбрать другую величину, но обязательно пояснить её смысл и затем выразить через неё искомую.
Как перевести слова «на несколько больше» и «в несколько раз больше» в уравнение?
Слова «на 3 больше» означают прибавить 3: если первая величина равна x, то вторая равна x + 3. Слова «в 3 раза больше» означают умножить на 3: вторая величина равна 3x.
Можно ли обозначить неизвестной величину, которая не спрашивается в задаче?
Да, можно, если так проще составить уравнение. После решения вырази через найденное значение величину, о которой спрашивается, и запиши именно её в ответе.
Почему найденный корень уравнения может не быть ответом задачи?
Уравнение может иметь корень, который не подходит по смыслу задачи, например отрицательное число для длины или количества предметов. Поэтому нужно проверить значение не только в уравнении, но и в исходном условии.
Как проверить, правильно ли составлено уравнение?
Сопоставь каждое выражение с конкретной величиной из условия, а знак равенства — с описанной связью между величинами. Затем подставь найденное значение и проверь, выполняется ли исходное условие задачи.
8. Решение задач с помощью уравнений
