§ 4. Статистические характеристики

Определения и обозначения

Размах ряда чисел — разность между наибольшим и наименьшим значениями. Его находят так: R = max − min. Размах показывает ширину разброса данных.

Среднее арифметическое ряда чисел — сумма всех его значений, разделённая на количество значений. Если числа обозначены x₁, x₂, …, xₙ, то среднее равно (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Оно помогает оценить общий средний уровень результатов.

Мода ряда чисел — значение, встречающееся чаще остальных. Если максимальная частота принадлежит нескольким значениям, мод несколько. Если все значения встречаются одинаково часто, мода не определяется.

Медиана ряда чисел — значение, занимающее середину упорядоченного ряда. При нечётном количестве чисел это одно центральное значение, а при чётном — среднее арифметическое двух центральных. Медиана помогает найти середину данных, не ориентируясь на крайние результаты.

Как это устроено

Чтобы найти размах, достаточно определить наибольшее и наименьшее значения, поэтому упорядочивать весь ряд необязательно. Затем из большего значения вычитают меньшее. Полученная разность показывает расстояние между крайними результатами, но не говорит, как распределены числа внутри этого промежутка.

Среднее арифметическое учитывает каждое значение ряда, потому что в сумму входят все результаты. Если одно число сильно увеличить, общая сумма тоже увеличится, а значит, изменится и среднее. Поэтому очень большие или очень маленькие значения могут заметно повлиять на эту характеристику.

Для нахождения моды нужно подсчитать, сколько раз встречается каждое значение. Такое сравнение частот нужно потому, что мода определяется не величиной числа, а тем, насколько часто оно появляется. Например, небольшое число может быть модой, если оно встречается чаще всех остальных.

Медиану находят после расположения значений по возрастанию, поскольку только так можно увидеть середину ряда. При нечётном количестве чисел центральное место занимает одно значение. При чётном количестве середина находится между двумя числами, поэтому их усредняют.

Размах, среднее арифметическое, мода и медиана описывают данные с разных сторон. Размах показывает разброс, среднее — общий уровень, мода — наиболее частый результат, а медиана — середину упорядоченного ряда. Сопоставление нескольких характеристик даёт более полное представление о данных.

Статистические характеристики ряда чисел

Пользуйся таблицей как краткой памяткой: сначала определи, какую характеристику нужно найти, а затем выполни указанные действия. Если требуется медиана, порядок чисел проверяют обязательно. Для моды считают частоты, а для размаха ищут только крайние значения.

Разбор задач

Задача 1. Найдите размах ряда 4, 7, 9, 12, 15. Нужно сравнить все числа, чтобы найти крайние значения, а затем вычислить расстояние между ними.

1. Наименьшее значение ряда — 4, наибольшее — 15. Это крайние результаты, от которых зависит размах.
2. Вычитаем меньшее значение из большего: 15 − 4 = 11. Следовательно, размах ряда равен 11.

Ответ: 11.

Задача 2. Найдите среднее арифметическое оценок 3, 4, 4, 5, 5, 5. Сначала нужно учесть каждую оценку, затем разделить полученную сумму на общее количество оценок.

1. Складываем значения: 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 = 26.
2. В ряду 6 оценок, поэтому делим сумму на 6: 26 : 6 = 4⅓. Среднее не обязано быть одной из оценок, так как это результат общего вычисления.

Ответ: 4⅓.

Задача 3. Для ряда 2, 4, 4, 5, 7, 8, 8, 10 найдите моду и медиану. Ряд уже упорядочен, поэтому для медианы переставлять числа не нужно.

1. Числа 4 и 8 встречаются по два раза, остальные — по одному. Максимальная частота равна 2, значит, моды — 4 и 8.
2. В ряду 8 чисел, поэтому центральными являются четвёртое и пятое значения: 5 и 7. Их среднее равно (5 + 7) : 2 = 6, значит, медиана равна 6.

Ответ: мода — 4 и 8, медиана — 6.

Типичные ошибки

1. Вычитать из наименьшего значения наибольшее. Так получают отрицательное число, хотя размах обозначает ширину промежутка и не может быть отрицательным. Проверь себя: сначала запиши большее значение, затем меньшее и выполни max − min.

2. Делить сумму на число разных значений. Повторяющиеся числа тоже являются отдельными элементами ряда, поэтому их нужно учитывать. Чтобы не ошибиться, пересчитай все числа, включая повторы.

3. Считать модой самое большое значение. Наибольшее число может встретиться всего один раз и не быть модой. Проверь частоты всех значений: мода определяется максимальным количеством повторений.

4. Выбирать одно центральное число при чётном количестве значений. В таком ряду середина находится между двумя числами, поэтому одно из них брать нельзя. Сложи оба центральных значения и раздели результат на 2.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужно уметь складывать и делить натуральные и десятичные числа, сравнивать значения и упорядочивать числовые ряды. Эти навыки помогают без ошибок выполнять вычисления и находить середину ряда.

Статистические характеристики применяют при анализе таблиц, результатов наблюдений, оценок и измерений. Позднее они пригодятся при изучении статистики и вероятности, где по данным делают выводы о случайных событиях и закономерностях.

Что запомнить

• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Среднее арифметическое равно сумме всех значений, делённой на их количество.
• Мода — наиболее часто встречающееся значение.
• Медиану находят в упорядоченном ряду.
• При нечётном количестве значений медиана — одно центральное значение.
• При чётном количестве значений медиана — среднее двух центральных.