§ 4. Статистические характеристики

Определения и обозначения

Размах ряда — разность между наибольшим и наименьшим значениями. Например, если самое большое значение равно 12, а самое маленькое — 4, размах равен 8. Он показывает, насколько далеко друг от друга расположены крайние данные, то есть ширину всего промежутка их разброса.

Среднее арифметическое ряда — сумма всех его значений, делённая на их количество. Чтобы найти его, складывают каждое число и делят результат на число наблюдений. Эта характеристика нужна, чтобы одним числом передать общий уровень ряда; повторы при этом тоже учитываются.

Мода ряда — значение, которое встречается чаще других. Она помогает увидеть самый распространённый результат, например наиболее частый балл или размер. У ряда может быть несколько мод, если несколько значений делят первое место по частоте, а может не быть моды вовсе.

Медиана ряда — значение, которое делит упорядоченный ряд пополам: столько же элементов остаётся слева, сколько справа, если не считать саму медиану. При нечётном числе значений это средний элемент, а при чётном — среднее арифметическое двух центральных. Медиана помогает определить середину данных, не смешивая её с крайними значениями.

Как это устроено

Данные сначала рассматривают как ряд чисел: каждое наблюдение записывают отдельно, даже если значения повторяются. Для поиска медианы ряд располагают по возрастанию, потому что нужно точно определить, какие элементы стоят посередине. Исходный порядок записи может быть случайным и не говорит о величине чисел. Поэтому перестановка данных не меняет их статистические характеристики, но упорядочивание делает центральные элементы видимыми.

Крайние значения упорядоченного ряда находятся на его концах: самое маленькое — в начале, самое большое — в конце. Чтобы измерить ширину промежутка между ними, из большего вычитают меньшее. Складывать эти числа нельзя: сумма не показывает расстояние между границами. Разность показывает, на сколько единиц крайние значения отдалены друг от друга, но не описывает, как распределены остальные числа внутри промежутка.

Среднее арифметическое получают так: складывают все наблюдения и делят сумму на их общее количество. Делитель равен именно числу записанных значений, потому что каждое из них участвует в общей сумме, в том числе повторяющееся. Такое деление можно представить как равномерное распределение всей суммы между наблюдениями: каждому досталась бы одна и та же величина. Поэтому при расчёте нельзя отбросить повторы или делить на число разных значений.

Чтобы определить моду, подсчитывают, сколько раз встретилось каждое значение, и сравнивают полученные частоты. Модой становится значение с наибольшей частотой, а не просто любое число, появившееся больше одного раза. Если несколько значений встречаются одинаково часто и чаще прочих, все они являются модами. Если частоты у всех значений одинаковы, лидера нет, следовательно, мода отсутствует.

Медиану находят после упорядочивания, поскольку расположение чисел показывает их середину. При нечётном количестве элементов один оказывается ровно посередине и делит остальные на две равные группы. При чётном количестве точного среднего элемента нет: два центральных значения стоят рядом и вместе занимают середину. Их среднее арифметическое даёт число, которое делит ряд пополам; оно может даже не совпадать ни с одним элементом ряда.

Статистические характеристики числового ряда

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала определи, какую характеристику просит найти задача, а затем выполни соответствующее действие. Для медианы сначала обязательно упорядочь числа. Для среднего арифметического отдельно проверь, что в подсчёт вошли все наблюдения.

Разбор задач

Задача 1

Для ряда 3, 5, 7, 9 найдите размах. Ряд уже записан по возрастанию, поэтому крайние значения видны сразу. Размах должен показать расстояние между самым маленьким и самым большим числами.

1. Наибольшее значение ряда — 9, а наименьшее — 3.
2. Вычитаем меньшее значение из большего: 9 − 3 = 6. Полученное число неотрицательно, что соответствует смыслу размаха.

Ответ: размах равен 6. Это ширина промежутка от 3 до 9, а не сумма крайних значений.

Задача 2

Для ряда 4, 6, 6, 8, 11 найдите среднее арифметическое и моду. В ряду пять наблюдений, причём число 6 записано дважды. Поэтому для среднего нужно учесть оба появления шести, а для моды — сравнить частоты значений.

1. Находим сумму всех значений: 4 + 6 + 6 + 8 + 11 = 35. Делим её на число наблюдений: 35 : 5 = 7.
2. Считаем повторения: 4, 8 и 11 встречаются по одному разу, а 6 — два раза. Значит, наибольшая частота у числа 6.

Ответ: среднее арифметическое равно 7, мода равна 6. Среднее здесь не обязано совпадать с одним из чисел ряда, а мода определяется только частотой.

Задача 3

Для ряда 12, 7, 9, 7, 15, 10 найдите размах, среднее арифметическое, моду и медиану. Сначала удобно упорядочить данные, чтобы увидеть крайние и центральные значения. При этом все шесть наблюдений, включая повторяющуюся семёрку, остаются в расчётах.

1. Упорядочиваем ряд: 7, 7, 9, 10, 12, 15. Размах равен 15 − 7 = 8, поскольку 15 — наибольшее, а 7 — наименьшее значение.
2. Складываем исходные значения: 12 + 7 + 9 + 7 + 15 + 10 = 60. Делим сумму на шесть наблюдений: 60 : 6 = 10.
3. Число 7 встречается дважды, остальные числа — по одному разу, поэтому мода равна 7. В упорядоченном ряду шесть элементов, значит, берём два центральных: 9 и 10.
4. Находим среднее двух центральных значений: (9 + 10) : 2 = 9,5. Это медиана ряда, хотя 9,5 не является элементом исходного набора.

Ответ: размах — 8, среднее арифметическое — 10, мода — 7, медиана — 9,5. Разные характеристики описывают разные стороны одного ряда, поэтому их значения необязательно совпадают.

Типичные ошибки

Размах иногда находят сложением крайних значений или вычитанием большего из меньшего. Так происходит, если забыть, что размах — расстояние от нижней границы до верхней. Проверь себя: выбери наибольшее и наименьшее числа и запиши именно «большее минус меньшее»; результат не должен быть отрицательным.

При вычислении среднего арифметического можно разделить сумму на число разных значений или забыть повторяющиеся числа. Причина ошибки — путаница между количеством видов чисел и количеством наблюдений. Перед делением пересчитай все элементы ряда, включая повторы, и убедись, что каждое число вошло в сумму столько раз, сколько оно встречается.

Модой иногда называют любое число, которое повторяется. Но если другое значение встретилось чаще, повторяющееся число модой не является. Сравни частоты всех значений: мода должна иметь наибольшую частоту; если лидеров несколько, мод несколько, а если частоты равны, моды нет.

Медиану нельзя надёжно определить в неупорядоченной записи: числа могут стоять в любом порядке. Ещё одна ошибка при чётном количестве элементов — выбрать только одно из двух центральных чисел. Сначала расставь числа по возрастанию, затем проверь количество элементов: для чётного ряда найди среднее арифметическое двух центральных.

Связь с другими темами

Чтобы работать со статистическими характеристиками, нужно уметь складывать и сравнивать числа, находить разность, делить сумму на число слагаемых и упорядочивать данные. Эти действия знакомы по арифметике, но теперь они помогают описывать целый набор наблюдений. Знания пригодятся при анализе измерений, опросов и результатов соревнований. Позже такие способы обработки данных будут встречаться при изучении статистики и вероятностей.

Что запомнить

• Размах равен наибольшему значению минус наименьшее.
• Среднее арифметическое — сумма значений, делённая на их количество.
• Мода — значение с наибольшей частотой появления.
• У ряда может быть несколько мод или не быть моды.
• Медиану находят только после упорядочивания ряда.
• При чётном числе значений медиана равна среднему двух центральных элементов.