"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Уравнение помогает найти неизвестную величину, когда условие связывает её с известными данными. Чтобы решить задачу, нужно выбрать переменную, выразить через неё остальные величины, записать уравнение и решить его. Но найденный корень ещё не всегда является ответом: его проверяют по смыслу условия и записывают именно ту величину, о которой спрашивается, с нужными единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство с переменной, значение которой нужно найти. Например, в записи x + 5 = 12 переменная — x, а равенство задаёт условие для её значения. Уравнения нужны, чтобы кратко записывать связи между числами и находить неизвестное.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством. Для уравнения x + 5 = 12 корень равен 7, потому что 7 + 5 = 12. Проверка подстановкой помогает убедиться, что уравнение решено правильно.
Математическая модель задачи — запись её условий и связей между величинами с помощью переменной и уравнения. Например, если одно число на 7 больше другого, можно обозначить меньшее за x, а большее записать как x + 7. Такая модель заменяет словесное описание точными математическими отношениями.
Решение задачи с помощью уравнения — способ, при котором неизвестное обозначают переменной, составляют уравнение и по его корням находят ответ. Этот способ удобен, когда величины связаны несколькими условиями. Он помогает не угадывать ответ, а последовательно получить его и проверить.
Сначала нужно понять условие и определить, какую величину требуется найти. Её удобно обозначить переменной, например x, потому что тогда неизвестное можно включить в вычисления. Полезно сразу уточнить, что именно означает эта буква: «x — число карандашей в первой коробке» точнее, чем просто «пусть x — неизвестное».
Затем остальные величины выражают через выбранную переменную, опираясь на связи из условия. Если одно число на 7 больше другого, а меньшее равно x, то большее равно x + 7. Это позволяет описать обе величины одной переменной и не вводить лишние неизвестные.
Уравнение составляют из того условия, которое связывает величины. Например, если сумма двух чисел равна 31, а сами числа равны x и x + 7, получается x + (x + 7) = 31. Каждая часть записи должна соответствовать смыслу задачи: тогда уравнение будет не случайным набором действий, а её математической моделью.
После составления модели уравнение решают известными способами. Однако полученное значение пока лишь корень уравнения, а не обязательно окончательный ответ задачи. Поэтому нужно подставить его в условия и проверить, допустимо ли оно: предметов не бывает меньше нуля, а число людей обычно должно быть целым.
Наконец, ответ записывают словами и с нужными единицами измерения. Если переменной обозначили скорость, то в ответе скорость выражают, например, в километрах в час; если обозначили одно число, а вопрос просит оба, находят и второе. Такой шаг связывает вычисления с тем, что действительно требовалось узнать.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор переменной | Обозначить неизвестную величину буквой и пояснить, что она означает. | Соответствует ли выбор вопросу задачи и есть ли у величины ограничения. |
| Выражение остальных величин | Записать остальные величины через переменную, используя условие. | Верно ли переданы отношения и единицы измерения. |
| Составление уравнения | Записать равенство, которое выражает условие задачи. | Описывают ли обе части нужную связь или величину. |
| Решение уравнения | Найти все корни уравнения. | Правильно ли выполнены преобразования и вычисления. |
| Проверка и запись ответа | Проверить корни по смыслу и ответить на вопрос задачи. | Указаны ли нужные величины и единицы измерения. |
Пользуйтесь таблицей как последовательным маршрутом: переходите к следующему этапу, когда закончили предыдущий. В графе проверки собраны вопросы, которые помогают вовремя заметить неточность. Даже если уравнение решено без ошибок, последний этап пропускать нельзя.
Одно число на 7 больше другого, а их сумма равна 31. Нужно найти оба числа. Удобно обозначить меньшее число за x, тогда большее будет x + 7. Так мы сразу учитываем разницу между числами и можем выразить их сумму одной записью.
Ответ: 12 и 19.
В двух коробках 46 карандашей. Если из первой переложить во вторую 5 карандашей, в коробках станет поровну. Обозначим количество карандашей в первой коробке за x. После перекладывания там будет x − 5 карандашей, а во второй коробке их станет на 5 больше.
Ответ: в первой коробке было 28 карандашей, во второй — 18.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу и встретились через 2 часа, преодолев вместе 54 км. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Обозначим меньшую скорость за x км/ч, тогда большая равна x + 3 км/ч. За 2 часа они проедут соответственно 2x и 2(x + 3) километров.
Ответ: скорости велосипедистов — 12 км/ч и 15 км/ч.
Первая ошибка — обозначить величину буквой, но не пояснить, что именно она означает. Тогда легко перепутать, к какой величине относится выражение или уравнение. Запишите рядом с переменной её смысл и единицу измерения; перед вычислениями проверьте, что все выражения соответствуют выбранному обозначению.
Вторая ошибка — неверно перевести словесное условие в математическую запись: например, принять «на 5 больше» за «в 5 раз больше». Первое означает прибавить 5, второе — умножить на 5. Чтобы себя проверить, проговорите выражение обычными словами и сравните его с текстом задачи.
Третья ошибка — считать любой корень подходящим ответом. Так бывает, если решающий проверяет только вычисления и забывает про ограничения условия. Подставьте корень в исходные отношения и спросите себя, возможна ли такая величина в реальной ситуации: например, может ли количество предметов быть отрицательным или дробным.
Четвёртая ошибка — записать в ответ только найденное значение переменной, хотя требуется другая или несколько величин. Причина в том, что вычисления принимают за готовое решение задачи. Сверьте ответ с вопросом: восстановите остальные значения через переменную и укажите все требуемые величины с единицами измерения.
Для решения задач с помощью уравнений нужно уметь решать линейные уравнения и выполнять преобразования равенств: переносить слагаемые и упрощать выражения. Если эти действия вызывают затруднения, сначала повторите их — тогда внимание можно будет сосредоточить на переводе условия в уравнение. Сам способ составления модели пригодится в задачах на движение, покупки, работу и отношения между величинами. В каждом случае важно понять, какие величины связаны и как именно.
Как выбрать, какую величину обозначить за x?
Обычно за x удобно взять величину, которую прямо просят найти, или ту, через которую проще выразить остальные. Сразу запишите, что именно означает x, и укажите единицу измерения, если она есть.
Как понять, что уравнение составлено правильно?
Проверьте, что обе части уравнения описывают одну и ту же величину или одно и то же условие. Подставьте смысл выражений обратно в задачу: если уравнение точно передаёт связь из условия, модель составлена верно.
Нужно ли проверять найденный корень по условию задачи?
Да: корень должен подходить не только уравнению, но и самой задаче. Например, число предметов не может быть отрицательным, а время или длина не могут быть меньше нуля.
Что делать, если уравнение имеет два корня?
Проверьте каждый корень по ограничениям и смыслу условия. Если подходят оба, рассмотрите оба значения и запишите все требуемые ответы; если один не подходит, исключите его.
Почему в ответе нельзя просто записать корень уравнения?
Корень — это значение выбранной переменной, а задача может спрашивать другую величину или несколько величин. Переведите найденное значение на язык условия и укажите нужные единицы измерения.
8. Решение задач с помощью уравнений
