"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Линейное уравнение с одной переменной — это равенство, которое после упрощения можно свести к виду ax = b. Решая его, мы ищем значение переменной, при котором равенство становится верным. Если коэффициент a не равен нулю, корень один; если a = 0, уравнение может не иметь корней или подходить при любом значении переменной. Такие уравнения помогают находить неизвестные числа в задачах и служат основой для решения более сложных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее переменную, истинность которого может зависеть от значения этой переменной. Например, в равенстве x + 2 = 5 при разных x получаются разные результаты. Понятие уравнения нужно, чтобы записывать условие о неизвестном числе и искать значения, при которых оно выполняется.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно привести к виду ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. Здесь переменная не возводится в степень выше первой и не стоит в знаменателе. Такая форма помогает увидеть, сколько решений может быть у уравнения.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное равенство. Например, для x + 2 = 5 корень равен 3: после подстановки получаем 3 + 2 = 5. Поиск корня и есть цель решения уравнения.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 4 = 7 и x = 3 равносильны, потому что оба выполняются только при x = 3. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие преобразования можно делать, не меняя ответа.
В линейном уравнении могут быть скобки и несколько слагаемых с переменной. Раскрывая скобки, мы заменяем произведение суммы на сумму произведений, а затем складываем подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой переменной в одинаковой степени. Поэтому все слагаемые с x можно объединить в одно ax, а числа — в одно число. После этих действий уравнение принимает вид ax = b.
Чтобы собрать переменные в одной части, а числа — в другой, используют одинаковое действие над обеими частями равенства. Например, из x + 5 = 9 можно вычесть 5 слева и справа: x + 5 − 5 = 9 − 5, значит, x = 4. При записи говорят, что 5 перенесли вправо со знаком минус. Знак меняется именно потому, что с обеих частей вычли 5, а не из-за самого перемещения через знак равенства.
Если умножить равные числа на одно и то же число, они останутся равными; то же верно для деления на ненулевое число. Поэтому обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, не меняя его корней. Нулём делить нельзя: у такого действия нет определённого результата. Нельзя также делить на выражение с переменной, пока не установлено, что оно не обращается в ноль.
Рассмотрим уравнение ax = b, где a ≠ 0. Чтобы оставить x без множителя, разделим обе части на a: ax/a = b/a. Слева множитель a сокращается, и остаётся x = b/a. Полученное значение — единственный корень: при ненулевом a уравнение не может давать два разных значения x.
Если a = 0, деление на коэффициент невозможно, поэтому нужно рассмотреть равенство 0 · x = b. При b ≠ 0 оно неверно при любом x: ноль не равен ненулевому числу, значит, корней нет. При b = 0 получается 0 · x = 0, и это верно для любого x. В таком случае уравнение имеет бесконечно много корней.
| Условие | После упрощения | Число корней | Вывод |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | x = b/a | Один | Уравнение имеет единственный корень |
| a = 0, b ≠ 0 | 0 · x = b | Ни одного | Получается неверное равенство |
| a = 0, b = 0 | 0 · x = 0 | Бесконечно много | Равенство верно при любом значении x |
Сначала приведи уравнение к виду ax = b, затем проверь коэффициенты a и b. Если a не равно нулю, найди единственный корень делением b на a. Если a равно нулю, сравни b с нулём, чтобы определить, нет корней или подходит любое значение x.
Нужно оставить слагаемое с x отдельно, а затем убрать коэффициент 3. При каждом преобразовании выполняем одно и то же действие с обеими частями, чтобы сохранить равенство.
Ответ: 6.
Сначала раскроем скобки, умножив внешний множитель на каждый член внутри них. Затем объединим слагаемые с x и отделим число, чтобы получить форму ax = b.
Ответ: 5.
Упростим левую часть каждого уравнения. Переменная может исчезнуть, когда слагаемые с x взаимно сокращаются; тогда нужно выяснить, осталось верное равенство или противоречие.
Ответ: первое уравнение имеет бесконечно много корней, второе — ни одного.
При переносе слагаемого иногда просто меняют его знак и забывают, почему это допустимо. Такое сокращённое правило легко применить неверно, особенно если слагаемое отрицательное. Проверь себя: запиши действие над обеими частями, например вычти одно и то же число слева и справа. Тогда смена знака будет следовать из равносильного преобразования.
Деление обеих частей на выражение с переменной может удалить возможный корень, если это выражение равно нулю при каком-либо значении. Так делают, когда по привычке делят на множитель, не проверяя его. Перед делением установи, что делитель ненулевой; если это не ясно, разбери отдельно случай, когда он равен нулю. В линейном уравнении безопасно делить на числовой коэффициент, только если он не равен нулю.
При раскрытии скобок ошибаются, умножая внешний множитель не на каждый член. Например, 2(3x − 1) — это 6x − 2, а не 6x − 1. Ошибка возникает, если замечают первый член и забывают второй. Проверь раскрытие, умножив внешний множитель отдельно на каждый член в скобках.
Уравнение не всегда имеет ровно один корень: после упрощения коэффициент при переменной может стать нулём. Эту возможность упускают, потому что сразу начинают делить на полученный коэффициент. Сначала приведи уравнение к виду ax = b и проверь a; при a = 0 сравни оставшееся равенство с 0 = b.
Для решения линейных уравнений нужны действия с рациональными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Если эти навыки не отработаны, ошибка в вычислениях может помешать правильно найти корень. Полезно проверять каждый шаг и аккуратно следить за знаками.
Линейные уравнения помогают решать текстовые задачи: неизвестное число обозначают переменной, а условие задачи записывают в виде равенства. Позже уравнения станут частью систем уравнений, где требуется найти значения нескольких переменных. Поэтому умение сводить выражения к простой форме пригодится и в новых темах.
Идея равносильных преобразований продолжает работать при решении более сложных уравнений и неравенств. Она помогает отличать действия, сохраняющие ответы, от тех, которые могут изменить множество решений. В каждом случае нужно проверять условия преобразования, например ненулевое значение делителя.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
На самом деле слагаемое не перемещают: из обеих частей уравнения вычитают одно и то же число или прибавляют его. Например, из x + 5 = 9 вычитают 5 с обеих сторон и получают x = 4. Запись «перенесли 5 со знаком минус» — короткое название этого действия.
Можно ли делить обе части уравнения на переменную?
Только если заранее известно, что переменная не равна нулю. Иначе можно потерять корень: например, при делении уравнения x² = x на x исчезает решение x = 0. В линейном уравнении делят на коэффициент при переменной, если он заведомо не равен нулю.
Как понять, что уравнение имеет бесконечно много корней?
Упростите уравнение и проверьте, не исчезла ли переменная так, что осталось верное равенство, например 0 = 0. Такое равенство верно при любом значении переменной. Значит, каждое число является корнем.
Что делать, если после упрощения переменная исчезла?
Сравните числа, которые остались в обеих частях. Если получилось верное равенство, например 0 = 0, корнем будет любое число; если неверное, например 0 = 3, корней нет. Переменная исчезает, когда её коэффициент после упрощения равен нулю.
Как проверить, что найденное значение является корнем уравнения?
Подставьте найденное число вместо переменной в исходное уравнение и выполните вычисления. Если левая и правая части равны, значение является корнем. Если равенства не получилось, проверьте вычисления и преобразования.
7. Линейное уравнение с одной переменной
