6. Уравнение и его корни

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, которое может быть верным лишь при некоторых её значениях. Например, в равенстве x + 2 = 5 буква x обозначает число, которое нужно подобрать. Понятие уравнения помогает записывать задачи о неизвестных величинах и находить их значения.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Если в равенстве x + 2 = 5 вместо x поставить 3, получится 3 + 2 = 5. Это верное равенство, поэтому 3 — корень; проверка подстановкой позволяет отличить подходящие значения от неподходящих.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Найти одно подходящее число недостаточно, если могут существовать и другие. Поэтому при решении нужно не только получить ответ, но и установить, исчерпывает ли он все возможности.

Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней, хотя их записи могут различаться. Например, уравнения x + 2 = 5 и x = 3 равносильны: оба имеют единственный корень 3. Это понятие нужно, чтобы понимать, когда преобразование упрощает запись, не меняя решения.

Как это устроено

Чтобы выяснить, является ли число корнем, его подставляют вместо переменной. После подстановки в каждой части остаются только числа, и их можно вычислить. Если результаты слева и справа совпадают, получается верное числовое равенство; если не совпадают, исходное уравнение при этом значении неверно. Например, при x = 3 равенство x + 2 = 5 превращается в 3 + 2 = 5, значит, 3 — корень.

Решение не заканчивается нахождением одного подходящего значения, потому что условие уравнения могут выполнять и другие числа. Например, если найдено x = 2, это ещё не доказывает, что других корней нет. Нужно рассуждать так, чтобы охватить все возможные значения, а затем записать полный ответ. Проверка найденного числа подтверждает, что оно подходит, но сама по себе не всегда доказывает, что других корней нет.

Число корней зависит от того, какие значения переменной делают равенство верным. Иногда подходит одно значение, иногда несколько, а иногда любое значение: последнее происходит, когда после упрощения получается тождественно верное равенство, например 0 = 0. Бывает и так, что равенство невозможно выполнить ни при каком значении, как 1 = 2. Поэтому перед записью ответа нужно выяснить, к какой ситуации относится уравнение.

Для решения уравнения обычно стараются заменить его более простым, но равносильным. Равносильность важна потому, что при преобразовании нельзя потерять имеющиеся корни или добавить неподходящие. Если новое уравнение имеет тот же набор корней, его можно решать вместо исходного. Поэтому преобразования должны быть обоснованными, а полученный ответ полезно проверить в исходной записи.

Подстановка найденного значения в исходное уравнение — способ проверить ответ независимо от промежуточных действий. Нужно заменить переменную числом, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить результаты. Если они равны, число действительно является корнем исходного уравнения. Если нет, значит, в решении есть ошибка или значение не подходит.

Виды уравнений по множеству корней

Сначала смотрите на число значений, при которых равенство становится верным. Примеры в таблице показывают, как уравнения могут различаться по множеству корней. Если после упрощения переменная исчезла, проверьте получившееся числовое равенство: верное означает, что подходят все значения, а неверное — что корней нет.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение 3x − 5 = 7. Нужно оставить переменную в одной части равенства и найти значение, при котором исходные части совпадут. Затем проверим полученный результат подстановкой.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x = 12.
2. Разделим обе части на 3: x = 4.
3. Проверим исходное уравнение: 3 · 4 − 5 = 12 − 5 = 7. Получили верное равенство.

Ответ: x = 4. Преобразования привели к единственному значению переменной, а проверка подтвердила, что оно подходит.

Задача 2. Определите, имеет ли уравнение 2(x − 3) = 2x − 6 корни, и укажите их. Раскроем скобки, чтобы сравнить части равенства. Если после этого переменная сократится, выясним, останется ли верное равенство.

1. Раскроем скобки слева: 2x − 6 = 2x − 6.
2. Вычтем 2x из обеих частей: −6 = −6.
3. Получилось верное числовое равенство, которое не зависит от x. Значит, исходное уравнение верно при любом значении переменной.

Ответ: корней бесконечно много: подходит любое значение x. Здесь нельзя назвать только одно число, потому что переменная сократилась, а равенство осталось верным.

Задача 3. Определите, имеет ли уравнение x + 1 = x + 2 корни. Уберём одинаковую переменную из обеих частей, чтобы увидеть, может ли равенство выполняться. Полученное числовое равенство покажет, есть ли подходящие значения.

1. Вычтем x из обеих частей: 1 = 2.
2. Это неверное равенство, и его истинность не зависит от значения x. Следовательно, ни одно значение переменной не удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: уравнение не имеет корней. Основание для такого вывода — не трудность поиска, а противоречие, к которому приводит преобразование.

Типичные ошибки

• Называть корнем любое значение, найденное в ходе преобразований, не проверив исходное уравнение. Так поступают, когда доверяют вычислениям и забывают, что в преобразованиях могла возникнуть ошибка. Подставьте число в исходную запись и сравните обе части: только верное равенство подтверждает, что это корень.

• Считать найденный корень единственным, не проверив, есть ли другие. Одно подходящее значение ещё не доказывает, что все остальные не подходят. Проверьте, к какому уравнению привели преобразования и не допускает ли оно других значений.

• Путать тождественно верное равенство с уравнением, имеющим один корень. Ошибка возникает, если после сокращения переменной не обратить внимания на результат: равенство вида 0 = 0 верно при любом её значении. Для самопроверки установите, зависит ли полученное равенство от переменной и является ли оно верным.

• Утверждать, что корней нет, только потому, что не удалось найти подходящее значение. Это смешивает отсутствие решения с тем, что решение пока не найдено. Обоснуйте вывод: например, преобразуйте уравнение к неверному равенству, которое не зависит от переменной.

Связь с другими темами

До решения уравнений нужно уметь подставлять числа вместо букв и вычислять значения буквенных выражений: без этого нельзя проверить, подходит ли число. Также пригодятся свойства числовых равенств и умение преобразовывать выражения, чтобы получать более простую запись. Понятия корня и решения станут основой для изучения линейных уравнений. Уравнения используют и в текстовых задачах: неизвестную величину обозначают переменной, а условие задачи записывают как равенство.

Что запомнить

• Корень уравнения превращает его в верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Уравнение может иметь один, несколько или бесконечно много корней.
• Уравнение может не иметь корней.
• Подстановка найденного значения в исходное уравнение служит проверкой.
• Равносильные уравнения имеют одинаковые корни.