"Алгебра", Алимов Ш.А.
Уравнение — равенство с неизвестным числом, которое обозначают буквой. Нужно найти такое значение неизвестного, чтобы левая и правая части стали равными. Это значение называют корнем уравнения. Уравнения помогают описывать условия задач о движении, стоимости, работе и геометрических величинах. При решении важно не только выполнить преобразования, но и проверить найденный ответ подстановкой в исходное равенство, а также убедиться, что найдены все корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Например, 2x + 3 = 11 — уравнение с неизвестным x. С помощью уравнений записывают зависимости между величинами и находят неизвестное по известным данным.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Для уравнения x + 5 = 9 корнем будет число 4, потому что после подстановки получается 4 + 5 = 9. Понятие корня нужно, чтобы отличать подходящее значение от любого числа.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. В процессе решения выполняют такие преобразования, которые помогают добраться до значения неизвестного. Затем проверяют, действительно ли найденные значения подходят.
Решение уравнения — найденный корень или множество всех найденных корней. Если корень один, решение записывают, например, так: x = 4. Если корней несколько, указывают их все, а при отсутствии корней сообщают, что решений нет.
Чтобы составить уравнение по условию задачи, сначала выбирают неизвестную величину и обозначают её буквой. Затем остальные неизвестные величины выражают через неё, используя смысл условия. После этого записывают равенство, которое связывает известные и неизвестные данные: например, сумму, разность, произведение или периметр.
Найденное значение проверяют подстановкой в исходное уравнение, потому что именно оно выражает первоначальное условие. После преобразований можно случайно перенести слагаемое с неправильным знаком или допустить ошибку в вычислениях. Если подставить ответ в исходное равенство и значения его частей совпадут, решение подтверждено.
Уравнение может иметь один корень, несколько корней или не иметь корней. Например, 2x + 1 = 7 имеет один корень x = 3, а x² = 9 имеет два корня: 3 и −3. Уравнение x + 2 = x + 5 не имеет корней, потому что после вычитания x получается невозможное равенство 2 = 5.
Решая уравнение, нельзя останавливаться на первом подходящем значении. Одно найденное число доказывает только то, что оно является корнем, но не показывает, существуют ли другие. Поэтому нужно учитывать вид уравнения и проверять все полученные значения, а затем отличать уравнение от результата подстановки: после подстановки неизвестного получается уже числовое равенство, верное или неверное.
| Понятие | Что означает | Как определить или проверить |
|---|---|---|
| Уравнение | Равенство с неизвестным числом. | Найти букву или выражение с неизвестным. |
| Корень уравнения | Значение неизвестного, делающее равенство верным. | Подставить значение и сравнить обе части. |
| Решить уравнение | Найти все корни или доказать их отсутствие. | Выполнить преобразования и сделать проверку. |
| Количество корней | Число значений, подходящих уравнению. | Установить, один корень, несколько или ни одного. |
| Проверка корня | Подстановка найденного значения в исходное равенство. | Вычислить левую и правую части и сравнить. |
Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: сначала определить, с чем имеем дело, затем найти значение неизвестного и проверить его. При проверке сравнивают именно обе части равенства, а не только результат одной из них.
Если задача составлена по тексту, к проверке добавляют смысловой анализ: длина, масса или число предметов не должны противоречить условию.
Установим, является ли число 4 корнем уравнения 3x − 5 = 7. Корень должен превратить исходное равенство в верное, поэтому заменим x числом 4. Проверять нужно обе части уравнения.
Ответ: число 4 является корнем уравнения.
Решим уравнение 5x − 7 = 2x + 8. Неизвестные слагаемые удобно собрать в одной части, а известные — в другой, сохраняя равенство. После этого найдём x и проверим результат в исходном уравнении.
Ответ: x = 5. Обе части исходного уравнения при этом значении равны 18.
Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона на 3 см больше другой. Обозначим меньшую сторону через x см, тогда большая сторона равна x + 3 см. Используем формулу периметра P = 2(a + b), а затем проверим не только вычисление, но и соответствие ответа условию.
Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 10 см.
Иногда корнем называют любое число, которое получилось в ходе преобразований, и не делают проверку. Такая ошибка возникает из-за доверия к вычислениям, хотя знак или действие могли быть записаны неверно. Подставьте ответ в исходное уравнение и сравните левую и правую части.
Другая ошибка — вычислить только одну часть равенства и объявить результат правильным. Само по себе число, полученное слева или справа, ничего не доказывает. Нужно найти значения обеих частей и убедиться, что они одинаковы.
Некоторые считают, что у каждого уравнения обязательно ровно один корень. Но уравнение может иметь несколько корней или не иметь их вовсе, поэтому одного найденного значения недостаточно. Проверьте, не допускает ли условие другие значения, и рассмотрите результат после упрощения.
В текстовой задаче найденное число иногда принимают без проверки смысла величины. Например, длина не может быть отрицательной, а число предметов обычно должно быть целым и неотрицательным. Сопоставьте ответ с каждым условием и подставьте его обратно в описание задачи.
До изучения уравнений нужно уметь выполнять действия с числовыми и буквенными выражениями, раскрывать скобки и упрощать равенства. Эти навыки позволяют без ошибок преобразовывать левую и правую части.
Тема служит основой для решения линейных уравнений и уравнений, которые можно к ним свести. Позже те же правила будут применяться к более сложным выражениям.
Составление уравнений помогает решать задачи на движение, работу, стоимость и геометрические величины. Неизвестное выбирают по условию, а затем переводят описание ситуации на язык равенств.
Чем уравнение отличается от обычного числового равенства?
В обычном числовом равенстве все числа уже известны, например 7 + 3 = 10. В уравнении есть неизвестное, и нужно найти его значение, при котором равенство станет верным.
Как проверить, является ли данное число корнем уравнения?
Нужно подставить это число вместо неизвестного в исходное уравнение. Затем вычислить обе части и сравнить их: если значения равны, число является корнем.
Может ли уравнение иметь несколько корней?
Да, уравнение может иметь несколько корней. Например, уравнение x² = 9 имеет корни 3 и −3, а некоторые уравнения не имеют корней вовсе.
Что означает выражение «решить уравнение»?
Это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Недостаточно найти одно подходящее значение, если уравнение может иметь другие корни.
Почему найденный при решении ответ нужно проверять в исходном уравнении?
Преобразования иногда выполняют с ошибкой или меняют условие равенства. Подстановка в исходное уравнение показывает, действительно ли найденное число подходит для первоначального условия.
§ 6. Уравнение и его корни
