"Алгебра", Алимов Ш.А.
Раскрытие скобок — это преобразование выражения, при котором скобки убирают, не меняя значения выражения. Оно помогает записывать вычисления короче и удобнее, находить подобные слагаемые и решать уравнения. Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри сохраняются; если минус — меняются на противоположные. Когда перед скобками есть множитель, его умножают на каждое слагаемое. После преобразования полезно проверить знаки и упростить запись.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Раскрытие скобок — преобразование выражения, при котором скобки убирают, сохраняя его значение. Например, запись a + (b + c) можно заменить равной ей записью a + b + c. Такое преобразование нужно, чтобы выражение было проще вычислять, сравнивать или упрощать.
Распределительное свойство умножения — правило, по которому множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри них. Например, k(a + b) = ka + kb. Это правило позволяет убрать скобки, не меняя значения выражения, и особенно полезно, когда перед ними стоит число или буква.
Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю, например 5 и −5. При раскрытии скобок с минусом знаки слагаемых внутри меняются на противоположные. Понятие противоположных чисел помогает понять, почему вычитание суммы приводит к изменению знаков каждого слагаемого.
Коэффициент — числовой множитель буквенного выражения: в выражении 4x коэффициент равен 4. При раскрытии скобок его умножают на каждое слагаемое в скобках, учитывая знак. Умение видеть коэффициент помогает не пропустить множитель и правильно выполнить преобразование.
Раскрывая скобки, мы заменяем выражение другим, равным ему по значению. Это не догадка и не условное сокращение: равенство получается из правил действий с числами. Например, 3(2 + 4) означает три раза взять сумму 2 + 4; это то же самое, что взять три раза число 2 и три раза число 4, то есть 3 · 2 + 3 · 4. Поэтому после раскрытия скобок значение исходного выражения не меняется.
Если перед скобками стоит знак «плюс», слагаемые внутри сохраняют свои знаки. Например, 8 + (x − 3) означает прибавить к 8 всю разность x − 3. Прибавить эту разность — всё равно что прибавить x и затем вычесть 3, поэтому получаем 8 + x − 3. Плюс перед скобками не действует на каждое слагаемое как умножение и не требует менять их знаки.
Минус перед скобками означает, что нужно вычесть всю сумму или разность, которая в них записана. Вычитание суммы равносильно вычитанию каждого слагаемого: например, из числа 10 вычесть 2 + 3 — то же самое, что сначала вычесть 2, а потом 3. Поэтому в записи a − (b − c) первое слагаемое b вычитается, а вычитание числа −c превращается в прибавление c. Так получается a − b + c.
Множитель перед скобками относится ко всей сумме внутри, а не только к первому слагаемому. По распределительному свойству каждое слагаемое берут столько раз, сколько показывает множитель: k(a + b) = ka + kb. Если внутри стоит вычитание, оно сохраняется в произведении: k(a − b) = ka − kb. Так становится понятно, почему при раскрытии скобок нужно проверить каждое слагаемое.
Когда перед скобками есть и множитель, и минус, надо учитывать оба действия. Минус можно понимать как множитель −1: например, −k(a + b) означает умножить каждое слагаемое на −k, поэтому получаем −ka − kb. Если одно из слагаемых уже отрицательное, при умножении на отрицательный множитель его знак станет положительным. Удобно выполнять умножение по слагаемым и проверять знак каждого произведения отдельно.
| Что стоит перед скобками | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Знак «плюс» | Снять скобки, сохранив знаки слагаемых | a + (b − c) = a + b − c |
| Знак «минус» | Снять скобки, изменив знаки всех слагаемых на противоположные | a − (b − c) = a − b + c |
| Множитель | Умножить его на каждое слагаемое в скобках | k(a + b) = ka + kb |
| Минус и множитель | Умножить каждое слагаемое на множитель с учётом минуса | −k(a + b) = −ka − kb |
Сначала найди, что именно стоит перед скобками: знак или множитель. Затем выбери соответствующую строку и проверь результат по примеру в ней. Если есть и минус, и множитель, учитывай их вместе при умножении каждого слагаемого.
Раскройте скобки: 7 + (x − 3). Перед скобками стоит плюс, поэтому менять знаки слагаемых не нужно. После снятия скобок можно проверить, не потерялся ли знак минус перед числом 3.
Ответ: 7 + x − 3. При необходимости числовые слагаемые можно объединить: 7 − 3 = 4, поэтому выражение также можно записать как x + 4.
Раскройте скобки и упростите: 12 − (4a − 5) + 2a. Минус перед скобками относится сразу к обоим слагаемым внутри. Сначала раскроем скобки, а потом объединим слагаемые с a и числа.
Ответ: 17 − 2a. Проверка знаков помогает не принять −5 за число, которое после снятия скобок остаётся отрицательным: перед ним тоже действовал минус.
Раскройте скобки и упростите: −3(2x − 4) + 2(x + 5). Здесь две скобки с разными множителями, и в первой множитель отрицательный. Распределим каждый множитель на все слагаемые, затем сгруппируем выражения с x и числа.
Ответ: −4x + 22. Отдельная проверка каждого произведения помогает заметить, что −3 · (−4) даёт положительное слагаемое.
При минусе перед скобками иногда меняют знак только первого слагаемого. Так происходит, если считать, что минус относится лишь к ближайшей части записи, но он относится ко всему выражению в скобках. Проверь себя: мысленно умножь каждое слагаемое на −1 и убедись, что знак изменён у каждого.
При плюсе перед скобками некоторые меняют знаки слагаемых. Ошибку часто вызывает привычка связывать любой знак перед скобками с изменением знаков внутри. Но плюс означает прибавление выражения целиком, поэтому внутренние знаки остаются прежними. Для проверки просто убери скобки в примере a + (b − c) и сравни знак каждого слагаемого.
При распределительном свойстве множитель иногда умножают только на первое слагаемое. Причина обычно в спешке или в том, что второе слагаемое кажется отдельным. На самом деле множитель относится ко всей сумме или разности. Проверь запись: после раскрытия скобок у каждого слагаемого, которое было внутри, должен появиться результат умножения на внешний множитель.
При умножении отрицательного множителя можно потерять один из минусов. Это случается, когда действия выполняют сразу со всем выражением, не рассматривая отдельные произведения. Запиши умножение каждого слагаемого отдельно и проверь правило знаков: произведение двух отрицательных чисел положительное, а отрицательного и положительного — отрицательное. Так легче обнаружить неверный знак до приведения подобных слагаемых.
Для раскрытия скобок нужны навыки сложения и вычитания целых чисел, а также правила знаков при умножении. Распределительное свойство — основа раскрытия скобок с множителем: оно объясняет, почему множитель умножается на каждое слагаемое. После раскрытия скобок выражения часто упрощают, приводя подобные слагаемые. Этот же приём используют при решении уравнений, когда нужно преобразовать их части и собрать слагаемые с неизвестным.
Что делать со знаками, если перед скобками стоит плюс?
Скобки можно убрать, оставив знаки всех слагаемых такими, какими они были. Например, a + (b − c) = a + b − c. Прибавление суммы равносильно прибавлению каждого её слагаемого.
Почему при минусе перед скобками меняются знаки всех слагаемых?
Вычитание суммы означает, что нужно вычесть каждое слагаемое этой суммы. Поэтому при раскрытии скобок каждое слагаемое получает противоположный знак: a − (b − c) = a − b + c.
На какие слагаемые нужно умножать число перед скобками?
Множитель умножают на каждое слагаемое внутри скобок. Например, k(a + b) = ka + kb. Если слагаемых больше двух, множитель также относится к каждому из них.
Как раскрыть скобки, если перед ними стоит отрицательный множитель?
Умножь отрицательный множитель на каждое слагаемое и отдельно проверь знак каждого произведения. Например, −k(a + b) = −ka − kb. Если внутри есть отрицательное слагаемое, произведение двух минусов будет положительным.
Можно ли после раскрытия скобок сразу привести подобные слагаемые?
Да, если скобки уже раскрыты правильно, можно объединить подобные слагаемые. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью. Сначала проверь знаки и коэффициенты, а затем выполняй сложение или вычитание.
§ 5. Правила раскрытия скобок
