§ 5. Правила раскрытия скобок

Определения и обозначения

Раскрытие скобок — преобразование выражения, при котором скобки убирают, сохраняя значение выражения. Например, 4 + (x + 2) можно записать как 4 + x + 2. Это действие делает запись удобнее для дальнейших вычислений. Оно пригодится, когда нужно упростить выражение или решить уравнение.

Правило раскрытия скобок с плюсом: если перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри не меняются. Слагаемые — это части выражения, которые соединены знаками сложения или вычитания. Поэтому a + (b − c) превращается в a + b − c. Правило помогает убрать скобки, не меняя выражение.

Правило раскрытия скобок с минусом: если перед скобками стоит знак «−», знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные. Положительное слагаемое становится отрицательным, а отрицательное — положительным. Например, −(a − b) = −a + b. Так сохраняется значение выражения при вычитании всей суммы.

Умножение числа на сумму — действие, при котором число умножают на каждое слагаемое в скобках. Это правило записывают так: k(a + b) = ka + kb. Например, 2(x + 3) = 2x + 6. Оно позволяет убрать скобки, даже если перед ними стоит число, а не знак сложения или вычитания.

Как это устроено

Когда перед скобками стоит плюс, можно представить выражение как сумму двух частей: того, что записано до скобок, и всего выражения внутри них. При сложении часть после плюса прибавляется целиком, поэтому её слагаемые сохраняют свои знаки. Например, 6 + (x − 2) означает, что к 6 прибавляют x и вычитают 2. Получается 6 + x − 2, без изменения исходного значения.

Минус перед скобками означает, что из выражения вычитают всю сумму внутри, а не только первое слагаемое. Вычитание можно заменить прибавлением противоположного выражения: так, −(a + b) = (−a) + (−b). Поэтому каждый знак в скобках меняется на обратный. Если внутри была разность, например a − b, то после смены знаков получаем −a + b.

При умножении числа на сумму работает распределительное свойство умножения относительно сложения. Оно означает, что произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Поэтому в выражении 3(a + 4) нужно получить и 3a, и 12. Если умножить только первое слагаемое, часть выражения останется без действия и равенство нарушится.

Если перед скобками стоит отрицательное число, его знак учитывают при умножении каждого слагаемого. Например, в −2(x − 5) множитель −2 сначала умножается на x, а затем на −5. Получаем −2x + 10: первое произведение отрицательное, второе положительное, потому что перемножаются два отрицательных числа. Такой способ надёжнее, чем пытаться угадать общий знак заранее.

Если в выражении несколько скобок, раскрывайте их по очереди, внимательно рассматривая знак или множитель перед каждой парой. После этого запишите получившиеся слагаемые в одну строку и найдите подобные. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 3x и −x; их коэффициенты можно сложить. Такой порядок помогает не смешать раскрытие скобок с последующим упрощением.

Правила преобразования выражений со скобками

Найдите в выражении знак или число непосредственно перед скобками и выберите соответствующую строку. Сначала выполните преобразование со скобками, затем проверьте, появились ли подобные слагаемые. В примерах учитывайте, что знак минус относится ко всем слагаемым в скобках.

Разбор задач

Задача: раскройте скобки: 7 + (2x − 5). Перед скобками стоит плюс, поэтому внутренние знаки не меняются. Здесь не требуется умножать слагаемые или менять их порядок; нужно только убрать скобки.

1. Определяем знак перед скобками: это плюс.
2. Убираем скобки, оставляя 2x со знаком плюс, а 5 — со знаком минус.
3. Записываем результат: 7 + 2x − 5. Числа 7 и −5 можно объединить, потому что оба слагаемых числовые.

Ответ: 2x + 2. Проверка порядка действий проста: знак у 2x сохранился, а сумма чисел 7 − 5 равна 2. Значит, выражение записано без скобок и упрощено.

Задача: раскройте скобки и упростите: 12 − (4a + 3). Минус перед скобками означает вычитание всей суммы. Поэтому оба слагаемых внутри скобок должны поменять знаки, а затем можно объединить числа.

1. Меняем знак у 4a: получаем −4a, а знак у 3 меняем на минус.
2. Убираем скобки: 12 − 4a − 3.
3. Складываем числовые слагаемые 12 и −3, оставляя слагаемое −4a без изменений.

Ответ: 9 − 4a. Важно, что выражение в скобках вычиталось целиком, поэтому изменился знак и у числа 3, и у слагаемого 4a. После этого осталось только выполнить вычисление 12 − 3.

Задача: раскройте скобки и упростите: −3(2x − 4) + 2(x + 1). Здесь перед первыми скобками отрицательный множитель, а перед вторыми — положительный. Умножаем каждый множитель на оба слагаемых своей скобки, а затем собираем слагаемые с x отдельно от чисел.

1. В первой скобке умножаем: −3 · 2x = −6x и −3 · (−4) = 12.
2. Во второй скобке умножаем: 2 · x = 2x и 2 · 1 = 2. Получаем −6x + 12 + 2x + 2.
3. Объединяем подобные слагаемые: −6x + 2x = −4x, а 12 + 2 = 14.

Ответ: −4x + 14. Коэффициенты при x сложены отдельно, потому что буквенные части у этих слагаемых одинаковые. Числа 12 и 2 также объединены, а слагаемые с x и без x друг с другом не складываются.

Типичные ошибки

При минусе перед скобками иногда меняют знак только у первого слагаемого. Это происходит, когда минус воспринимают как знак одного ближайшего числа, хотя он относится ко всей сумме. Чтобы проверить себя, поставьте перед каждым слагаемым в скобках множитель −1 и умножьте на него каждый знак.

При умножении на число можно умножить только первое слагаемое, например ошибочно записать 3(a + 2) = 3a + 2. Так делают, потому что множитель зрительно кажется связанным только с первой частью скобок. Проверьте результат распределительным свойством: число должно умножиться на каждое слагаемое, значит, верная запись — 3a + 6.

Отрицательный множитель иногда считают положительным, из-за чего неверно определяют знаки произведений. Ошибка часто возникает, если выполнить умножение, не записывая знаки отдельно. Для проверки примените правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно. Затем убедитесь, что знак учтён у каждого слагаемого.

После раскрытия скобок можно ошибочно сложить коэффициенты при разных переменных, например записать 2x + 3y = 5xy или 5x. Причина в том, что складываются числа перед буквами, не проверяя сами буквенные части. Подобными являются только слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями переменных. Перепишите отдельно слагаемые с x, с y и числа, а затем объединяйте только внутри каждой группы.

Связь с другими темами

Чтобы раскрывать скобки без ошибок, нужно уметь выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Также пригодится умение приводить подобные слагаемые: именно оно позволяет завершить упрощение после раскрытия скобок. Если эти действия пока вызывают затруднения, повторите правила знаков и сложение однотипных слагаемых.

Раскрытие скобок используют при упрощении выражений, решении уравнений и преобразовании многочленов. Оно помогает убрать скобки и увидеть, какие слагаемые можно объединить. В уравнении такое преобразование делает запись удобнее, но значение каждой его части должно оставаться прежним.

Что запомнить

• Плюс перед скобками не меняет знаки слагаемых.
• Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых.
• При умножении на сумму множитель относится к каждому слагаемому.
• Отрицательный множитель учитывают при определении знака каждого произведения.
• После раскрытия скобок можно привести подобные слагаемые.
• Преобразование не должно менять значение выражения.