"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Свойства арифметических действий позволяют менять порядок и группировку слагаемых и множителей, не меняя результата. Благодаря им можно подбирать удобный способ вычисления: например, сначала складывать числа, дающие круглое число, или перемножать удобные множители. Распределительное свойство помогает раскрывать скобки и преобразовывать выражения с буквами. Чтобы применять эти правила верно, нужно различать сложение, умножение и вычитание и внимательно следить за знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения означает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Например, 4 + 9 и 9 + 4 дают одинаковый результат. Это правило нужно, чтобы выбирать удобный порядок сложения, не опасаясь изменить ответ.
Сочетательное свойство сложения записывают так: (a + b) + c = a + (b + c). Оно означает, что несколько слагаемых можно объединять в группы по-разному. Это удобно, если среди чисел есть пары, сумму которых легко найти.
Переместительное свойство умножения записывается как ab = ba: от перестановки множителей произведение не меняется. Например, 3 · 8 = 8 · 3. Правило позволяет выбрать первым тот множитель, с которым проще считать.
Сочетательное свойство умножения имеет вид (ab)c = a(bc), а распределительное свойство — a(b + c) = ab + ac. Сочетательное разрешает иначе объединять множители, распределительное — умножать число на каждый член суммы в скобках. Эти правила помогают сокращать вычисления и раскрывать скобки в буквенных выражениях.
Свойства действий позволяют менять порядок и группировку чисел, не изменяя результат, потому что они описывают равные способы выполнить одно и то же действие. При сложении предметов итоговое количество не зависит от того, с какой группы начать счёт. При умножении порядок множителей также не важен: например, 3 · 5 и 5 · 3 означают общее число предметов в трёх группах по пять или в пяти группах по три.
Переместительное свойство особенно полезно, когда исходный порядок неудобен. В выражении 38 + 17 + 62 числа 38 и 62 дают круглую сотню, поэтому их выгодно поставить рядом. Умножение тоже можно переставить: в 25 · 16 · 4 пара 25 и 4 сразу образует 100. Выбирая порядок, мы не меняем выражение по значению, а лишь упрощаем счёт.
Сочетательное свойство объясняет, почему скобки можно переносить между слагаемыми или множителями, если действие одно и то же. Например, в сумме из нескольких чисел сначала можно сложить те два, которые дают удобный результат. При умножении можно сначала найти произведение удобной пары множителей. Скобки здесь показывают, какой промежуточный шаг выбран, но итог остаётся прежним.
Распределительное свойство следует из смысла умножения суммы на число: если каждое из нескольких слагаемых повторяется одинаковое число раз, можно посчитать отдельно каждое слагаемое и сложить результаты. Поэтому a(b + c) = ab + ac. При разности сохраняется вычитание второго члена: a(b − c) = ab − ac. Например, 3(10 − 2) можно посчитать как 3 · 10 − 3 · 2.
При упрощении выражений сначала раскрывают скобки, затем собирают слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, −3(2x − 5) превращается в −6x + 15: отрицательный множитель применяется к обоим членам. Такой же подход помогает работать с положительными и отрицательными числами в длинных вычислениях. После преобразования полезно проверить, что каждый член скобок был умножен и знаки не потерялись.
| Свойство | Сложение | Умножение |
|---|---|---|
| Переместительное | a + b = b + a | ab = ba |
| Сочетательное | (a + b) + c = a + (b + c) | (ab)c = a(bc) |
| Распределительное относительно сложения | — | a(b + c) = ab + ac |
| Распределительное относительно вычитания | — | a(b − c) = ab − ac |
Сначала определите, какое действие выполняется: переместительное свойство меняет порядок, сочетательное — группировку, а распределительное раскрывает скобки. В столбце со сложением прочерк означает, что соответствующее правило описывает именно умножение относительно суммы или разности. Используйте нужную строку таблицы и проверяйте, не меняется ли при преобразовании само значение выражения.
В обычном порядке пришлось бы складывать 38 и 17, а затем прибавлять 62. Заметим, что 38 и 62 вместе дают круглую сотню, поэтому применим переместительное и сочетательное свойства. Так вычисление станет короче, но сумма останется той же.
Ответ: 117.
Если умножать слева направо, сначала появится 25 · 16, что не так удобно. Переместим и сгруппируем множители, чтобы сначала получить 100. После этого останется простое умножение на 16.
Ответ: 1600.
В выражении две скобки, поэтому к каждому члену внутри них нужно применить свой внешний множитель. Особенно внимательно следим за первой скобкой: множитель −3 отрицательный, а второй член внутри неё уже имеет знак минус. После раскрытия скобок объединим подобные слагаемые — члены с x отдельно, числа отдельно.
Ответ: −2x + 19.
Ошибка: менять местами числа при вычитании так, словно это слагаемые. Например, 9 − 4 не равно 4 − 9, поэтому переместительное свойство к вычитанию не относится. Такую ошибку допускают, перенося правило сложения на похожую запись. Проверяйте, какое именно действие стоит между числами, и при сомнении вычислите оба выражения.
Ошибка: умножить внешний множитель только на первый член скобок. В записи a(b + c) множитель a относится и к b, и к c, поэтому результат — ab + ac. Ошибка возникает, когда скобки воспринимают как украшение, а не как группу слагаемых. Для проверки проведите от множителя отдельное умножение к каждому члену внутри скобок.
Ошибка: потерять знак при умножении на отрицательное число, например раскрыть −a(b − c) неверно. Множитель −a нужно умножить на b и на −c отдельно; второй результат будет положительным: −ab + ac. Ошибаются, если считают, что минус действует только на первый член. Проверяйте каждый результат умножения знаков по отдельности.
Ошибка: путать сочетательное свойство с распределительным. Сочетательное меняет группировку при сложении или умножении, например (ab)c = a(bc), а распределительное раскрывает умножение перед скобками. Путаница появляется из-за наличия скобок в обоих случаях. Сверьте действия: если множитель стоит перед суммой или разностью, нужно распределить его на каждый член.
Для работы со свойствами нужно знать порядок выполнения арифметических действий, правила работы со скобками и действия с положительными и отрицательными числами. Эти знания помогают не только выбрать преобразование, но и правильно выполнить вычисления внутри него. Особенно важны правила знаков при раскрытии скобок с отрицательным множителем.
Свойства арифметических действий применяются при упрощении алгебраических выражений. Раскрытие скобок превращает произведение в сумму, а приведение подобных слагаемых помогает собрать вместе члены с одинаковой буквенной частью. Так выражение становится короче и удобнее для дальнейшей работы.
Дальше эти преобразования пригодятся при решении уравнений и упрощении выражений. Свойства позволяют изменить вид записи, сохранив её значение, чтобы легче было найти неизвестное или выполнить вычисление. Поэтому важно понимать не только формулы, но и причину каждого шага.
Можно ли менять местами слагаемые?
Да, при сложении от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Это свойство помогает выбрать удобный порядок вычислений.
Чем переместительное свойство отличается от сочетательного?
Переместительное свойство разрешает менять местами числа: a + b = b + a. Сочетательное позволяет иначе расставлять скобки, то есть менять группировку: (a + b) + c = a + (b + c).
Почему при раскрытии скобок нужно умножить на каждое слагаемое?
Скобки обозначают сумму, каждый член которой участвует в умножении на внешний множитель. Поэтому a(b + c) = ab + ac: множитель a действует и на b, и на c.
Можно ли применять распределительное свойство к разности?
Да, разность можно представить как вычитание второго члена: a(b − c) = ab − ac. Множитель умножается на оба члена, а знак минус перед вторым сохраняется.
Как не ошибиться со знаками при раскрытии скобок?
Умножайте внешний множитель на каждый член отдельно и записывайте знак каждого результата. Если множитель отрицательный, особенно внимательно перемножайте знаки; затем проверьте, что второй член разности остался со знаком минус, если правило не изменило его.
§ 4. Свойства арифметических действий
