§ 3. Алгебраические равенства. Формулы

Определения и обозначения

Алгебраическое равенство — это равенство, в котором наряду с числами могут быть буквы. Например, 3a + 2 = 11 содержит букву a, и от её значения зависит, верны ли левая и правая части. Такое равенство нужно, чтобы описывать разные случаи одной записью и проверять их подстановкой чисел.

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв. Например, 2(x + 4) = 2x + 8 верно для любого x, потому что после раскрытия скобок части совпадают. Понятие тождества помогает узнавать равные выражения и преобразовывать их, не меняя значения.

Формула — запись зависимости между величинами с помощью букв и знаков действий. Например, P = 2(a + b) связывает периметр прямоугольника с длинами его сторон. Если известны a и b, подстановка этих значений позволяет найти P.

Допустимое значение буквы — значение, при котором выражения в обеих частях равенства имеют смысл. Например, для выражения 1/(x − 2) число 2 недопустимо: при подстановке получится деление на ноль. Учёт допустимых значений нужен, чтобы не выполнять вычисления с выражениями, которые не определены.

Как это устроено

Числовое равенство можно сразу проверить вычислением: например, в записи 7 + 2 = 9 обе части равны 9. В буквенном равенстве буква обозначает число, которое не указано заранее, поэтому сначала нужно знать её значение. При разных подстановках результат может измениться, и равенство окажется то верным, то неверным.

Сравним равенства 3a + 2 = 11 и 2(x + 4) = 2x + 8. Первое выполняется только при a = 3: тогда обе части равны 11, но при a = 1 левая часть равна 5. Во втором равенстве раскрытие скобок даёт 2x + 8 слева, то есть части совпадают при любом x. Поэтому первое равенство верно лишь для некоторых значений, а второе является тождеством.

Чтобы проверить буквенное равенство при заданных значениях, подставляют числа вместо букв во все места, где они встречаются. Затем отдельно вычисляют левую и правую части: так легче заметить, если в одной из них допущена ошибка. Если получились одинаковые числа, равенство верно для этой подстановки; если разные — неверно.

Формула кратко показывает, как одна величина зависит от других. Например, формула периметра прямоугольника P = 2(a + b) означает, что нужно сложить длины двух соседних сторон и удвоить сумму. Зная стороны, можно найти периметр без перечисления отдельных измерений для каждого случая. Буквы в формуле обозначают величины, а не любые числа без связи с условием.

При вычислениях по формуле каждое известное значение подставляют вместо соответствующей ему буквы. После подстановки выполняют действия по порядку: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Такой способ помогает не перепутать величины и получить результат с подходящей единицей измерения.

Виды равенств с числами и буквами

Сначала определите, какие объекты представлены в записи: только числа, выражение с буквами или зависимость между величинами. Затем посмотрите, при каких условиях равенство верно и что требуется делать с буквами. Такая таблица помогает не путать равенство, которое проверяют при конкретной подстановке, с тождеством или формулой.

Разбор задач

Проверка равенства при заданном значении

Проверьте, верно ли равенство 3a + 2 = 11 при a = 3. Нужно узнать, совпадут ли значения обеих частей именно при этой подстановке, а не делать вывод о равенстве для всех a.

1. Подставим 3 вместо a в левую часть: 3 · 3 + 2.
2. Вычислим: 3 · 3 + 2 = 9 + 2 = 11.
3. Правая часть уже равна 11. Значения частей совпали, значит, при a = 3 равенство верно.

Ответ: равенство верно при a = 3. Проверка относится только к этому значению буквы.

Проверка тождества

Проверьте, является ли равенство 2(x + 4) = 2x + 8 тождеством. Для этого нужно выяснить, совпадают ли части не при одной выбранной подстановке, а при любом допустимом x.

1. Раскроем скобки в левой части, умножив 2 на каждое слагаемое: 2(x + 4) = 2x + 8.
2. Полученная левая часть совпадает с правой частью равенства.
3. При раскрытии скобок не появилось ограничений на x, поэтому допустимы любые его значения.

Ответ: равенство является тождеством. Совпадение частей получено преобразованием, которое верно при любом x.

Вычисление по формуле

Периметр прямоугольника вычисляют по формуле P = 2(a + b). Найдите P при a = 7 см и b = 4 см. Буква a обозначает одну сторону, b — другую, поэтому в формулу нужно подставить оба значения на свои места.

1. Запишем формулу с подставленными значениями: P = 2(7 + 4).
2. Сначала вычислим сумму в скобках: 7 + 4 = 11.
3. Умножим результат на 2: P = 2 · 11 = 22.
4. Поскольку длины сторон заданы в сантиметрах, периметр тоже выражаем в сантиметрах.

Ответ: P = 22 см. Скобки показывают, что сначала нужно сложить длины сторон, а уже затем удвоить полученную сумму.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любое буквенное равенство тождеством. Её допускают, потому что буква кажется просто заменой числа, а равенство записано без конкретной подстановки; но оно может быть верным лишь для отдельных значений. Проверяйте, требуется ли равенство для всех значений, и ищите подтверждение преобразованием, а не предположением.

Ошибка: проверить равенство на одном удачном значении и объявить его тождеством. Подстановка подтверждает равенство только для выбранного числа, поэтому может не заметить другие значения, при которых части расходятся. Для вывода о тождестве нужно обосновать совпадение частей при всех допустимых значениях.

Ошибка: подставить число вместо буквы только в одной части. Тогда сравниваются выражения, относящиеся к разным значениям буквы, и проверка теряет смысл. Замените букву во всех местах в обеих частях и вычислите каждую отдельно.

Ошибка: не учитывать допустимые значения. Например, при подстановке в дробь можно получить нулевой знаменатель, и вычисление не будет иметь смысла. Перед проверкой убедитесь, что подстановка допустима для всех выражений в равенстве.

Связь с другими темами

Для работы с равенствами нужно уметь вычислять числовые выражения, раскрывать скобки и подставлять числа вместо букв. Эти навыки позволяют проверять значения частей и распознавать преобразования, сохраняющие равенство. Формулы пригодятся при изучении уравнений и преобразований выражений: они помогают записывать зависимости и находить неизвестные величины. В геометрии по формулам вычисляют, например, периметры фигур.

Что запомнить

• Равенство с буквами проверяют для конкретных значений подстановкой.
• Тождество верно при всех допустимых значениях букв.
• Одной проверки недостаточно, чтобы доказать, что равенство является тождеством.
• В формуле буквы обозначают величины и связывают их между собой.
• При вычислениях по формуле подставляют значения всех нужных величин.
• Следует учитывать, при каких значениях букв выражения имеют смысл.