"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Алгебраическое выражение — запись из чисел, букв и знаков действий, например 3a − 2b + 7. Буквы обозначают переменные: их значения могут меняться, поэтому вместе с ними меняется и значение выражения. Чтобы вычислить его, подставляют числа вместо букв и выполняют действия по правилам. При этом нужно следить за порядком вычислений и проверять, не приводит ли подстановка к делению на ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий, например 8 · 5 + 12. Чтобы найти его значение, выполняют действия в установленном порядке: сначала умножают 8 на 5, затем прибавляют 12 и получают 52. Такая запись помогает кратко описать вычисление и не перепутать его шаги.
Буквенное выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий используются буквы, например 3a − 2. Буква обозначает переменную — величину, значение которой может быть разным. Это удобно, когда нужно описать сразу много случаев: выражение 3a − 2 задаёт результат для любого подходящего значения a.
Алгебраическое выражение — числовое или буквенное выражение, составленное по правилам математической записи. Например, 5 + 2 · 4 — числовое выражение, а x + 7 — буквенное; оба относятся к алгебраическим выражениям. Это общее название помогает говорить и о записи с одними числами, и о записи с переменными.
Значение выражения — число, которое получают после выполнения всех действий при заданных значениях переменных. Например, если в a + 4 подставить a = 3, значение выражения будет 7. Это понятие нужно отличать от самой записи: пока значение буквы не задано, выражение обычно не является одним определённым числом.
Выражение составляют, соединяя числа и переменные знаками действий и, если нужно, скобками. Например, словесное условие «к числу a прибавить произведение 3 и b» записывают как a + 3 · b. Скобки показывают, какие части нужно объединить, а знаки помогают точно передать смысл условия, поэтому запись должна соответствовать тому, что требуется посчитать.
Буква может обозначать переменную, потому что одна и та же зависимость часто подходит для разных чисел. Если в выражении 2x + 1 менять x, результат тоже будет меняться: при x = 2 получится 5, а при x = 4 — 9. Значит, буква не украшение записи, а способ сохранить общий вид правила и затем вычислить нужный частный случай.
Чтобы получить верный результат, действия выполняют в принятом порядке. Сначала считают в скобках и возводят в степень, затем умножают и делят слева направо, а после складывают и вычитают слева направо. Этот порядок нужен, чтобы одна и та же запись имела однозначный смысл: например, 2 + 3 · 4 равно 14, а не 20.
Подстановка означает, что вместо каждой переменной записывают её заданное число. Так буквенное выражение становится числовым, и его можно вычислить по обычным правилам арифметики. Если число отрицательное, его заключают в скобки: при a = −2 запись 3a превращается в 3 · (−2), то есть в −6.
Не всякое число можно подставить в любое выражение: некоторые значения приводят к делению на ноль. Например, в выражении (x + 3)/(x − 2) значение x = 2 запрещено, потому что знаменатель станет нулём. Все значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми; их определяют, проверяя, не возникает ли запрещённое действие.
Таблица сравнивает выражения по составу и способу вычисления. Перед работой выясни, есть ли в записи переменные и заданы ли их значения. Строка о проверке подсказывает, что проверить до вычисления.
| Характеристика | Числовое выражение | Буквенное выражение | Алгебраическое выражение |
|---|---|---|---|
| Из чего состоит | Из чисел и знаков действий | Из чисел, переменных и знаков действий | Из чисел и/или переменных, знаков действий и скобок |
| Есть ли переменные | Нет | Да | Могут быть или отсутствовать |
| Что называют его значением | Результат выполнения действий | Результат после подстановки чисел и вычисления | Результат вычисления, если переменные заданы |
| Пример записи | 8 · 5 + 12 | 3a − 2b + 7 | 5 + 2 · 4 или x + 7 |
| Что нужно проверить перед вычислением | Порядок действий | Заданные значения и допустимость подстановки | Порядок действий и допустимость значений переменных |
Задача 1. Записать числовое выражение по условию: к произведению чисел 8 и 5 прибавить 12, затем найти значение. Сначала выделяем действие, названное произведением, и записываем его как 8 · 5. Затем прибавляем 12, потому что условие говорит прибавить число к полученному произведению.
Ответ: выражение 8 · 5 + 12, его значение 52. Проверка смысла помогает убедиться, что 12 прибавлено именно к произведению, а не к одному из множителей.
Задача 2. Найти значение выражения 3a − 2b + 7 при a = 4 и b = −1. Заменяем каждую букву её значением, причём отрицательное число b заключаем в скобки. После подстановки выполняем умножение прежде сложения и вычитания.
Ответ: значение выражения равно 21. Скобки показывают, что множитель −1 относится именно к числу 2; без них легко ошибиться со знаком произведения.
Задача 3. При каких значениях x имеет смысл выражение (x + 3)/(x − 2), и чему оно равно при x = 5? Сначала проверяем знаменатель, потому что дробь не определена, если он равен нулю. Затем отдельно подставляем указанное значение, убедившись, что оно допустимо.
Ответ: допустимы все значения x, кроме 2; при x = 5 значение выражения равно 8/3. Такая проверка до подстановки не позволяет выполнить деление на ноль.
Ошибка: считать запись 2a + 3 готовым числом. Так происходит, когда забывают, что значение a ещё не задано. Проверь себя: если переменная не получила числового значения, назови запись выражением, а не его числовым результатом. После подстановки уже можно вычислить конкретное значение.
Ошибка: подставить отрицательное число без скобок. Из-за этого меняется смысл записи: например, −3² равно −9, а (−3)² равно 9. Проверяй, относится ли степень или умножение к отрицательному числу целиком. При подстановке всегда заключай отрицательное значение переменной в скобки.
Ошибка: выполнять сложение раньше умножения или игнорировать скобки. Обычно так происходит, когда читают выражение слева направо, не учитывая правила порядка действий. Проверь каждый шаг: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание. Если действия одного уровня, выполняй их слева направо.
Ошибка: подставить число, при котором знаменатель равен нулю. Это случается, если сразу начать вычисление и не проверить допустимость значения. Найди знаменатель и выясни, при каком значении переменной он обращается в ноль. Такое значение нужно исключить: деление на ноль невозможно.
Для работы с выражениями нужны знания натуральных, целых и рациональных чисел, арифметических действий и порядка вычислений. Эти правила помогают подставлять как положительные, так и отрицательные значения и получать правильный результат. Скобки позволяют точно обозначить, какие действия связаны между собой.
Алгебраические выражения становятся основой для изучения одночленов и многочленов, тождественных преобразований и уравнений. Их используют при составлении формул и переводе условий текстовых задач на математический язык. Позже выражения помогают вычислять значения функций для заданных аргументов.
Чем алгебраическое выражение отличается от уравнения?
Выражение — это запись чисел, букв и действий, например 2x + 3. Уравнение содержит знак равенства и утверждает, что два выражения равны; его решают, находя подходящие значения переменной.
Почему букву иногда нельзя заменить любым числом?
Некоторые значения делают выражение бессмысленным. Например, в дроби 1/(x − 2) нельзя взять x = 2: тогда знаменатель будет равен нулю, а на ноль делить нельзя.
Нужно ли заключать отрицательное значение переменной в скобки?
Да, при подстановке отрицательное число обычно записывают в скобках. Например, если a = −3, то a² = (−3)² = 9; без скобок запись −3² означает −9.
Как определить порядок действий в сложном выражении?
Сначала выполняют действия в скобках и возведение в степень, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо.
Что делать, если в выражении переменная стоит в знаменателе?
Нужно найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их. После проверки допустимости можно подставить нужное значение и вычислить выражение.
§ 2. Алгебраические выражения
