§ 1. Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 8 + 3 · 4 и (15 − 7) : 2 — числовые выражения, а запись 8 + · 3 не задаёт правильного действия. Выражение позволяет записать вычисление коротко и точно.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 8 + 3 · 4 равно 20, потому что сначала выполняют умножение. Нахождение значения помогает получить конкретный результат вычисления.

Числовое равенство — запись, в которой числовые выражения соединены знаком =. Оно верно, если значения выражений слева и справа одинаковы: 7 + 5 = 3 · 4 — верное равенство, так как обе части равны 12. Равенство удобно для записи и проверки результатов вычислений.

Числовое неравенство — запись с числовыми выражениями и знаком сравнения: <, >, ≤ или ≥. Оно истинно, когда значения выражений стоят в указанном отношении, например 9 − 2 < 4 · 2, потому что 7 меньше 8. Такая запись показывает, какое из чисел больше или допускает равенство.

Как это устроено

Числовое выражение составляют, соединяя числа знаками арифметических действий, а скобки добавляют, если нужно выделить часть записи. Например, в выражении 6 + 2 · 5 числа соединены сложением и умножением, а в (6 + 2) · 5 скобки объединяют слагаемые. Скобки показывают, что их содержимое нужно рассматривать как отдельную часть вычисления. Благодаря такой записи можно однозначно понять, какие действия связаны между собой.

Действия нельзя выполнять в произвольном порядке: иначе одна запись могла бы давать разные результаты. Для этого установлены правила приоритета, то есть порядка выполнения действий. Сначала считают выражения в скобках, затем выполняют умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Такой порядок одинаков для всех, поэтому по одной и той же записи получают один и тот же результат.

Если в выражении несколько действий одного приоритета, их выполняют слева направо. Например, умножение не становится главнее деления только потому, что это умножение: в записи 24 : 6 · 2 сначала считают 24 : 6, затем умножают результат на 2. То же правило действует для сложения и вычитания: в 15 − 4 + 3 сначала выполняют вычитание, затем сложение. Так сохраняется смысл записи, в которой действия указаны последовательно.

Чтобы сравнить два числовых выражения, сначала находят значение каждого из них. Затем сравнивают полученные числа и выбирают нужный знак равенства или неравенства. Например, если одно выражение равно 14, а другое — 11, первое больше второго. Сравнивать только вид записей недостаточно: разные выражения могут иметь одинаковые значения.

Скобки способны изменить порядок действий, а значит, и результат. В выражении 18 − 6 : 2 сначала выполняют деление, а в (18 − 6) : 2 сначала вычитают числа в скобках. Поэтому одинаковые числа и знаки могут дать разные значения при разной расстановке скобок. Чтобы проверить влияние скобок, вычисли обе записи по правилам и сравни ответы.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей как маршрутом вычислений: сначала найди действия самого высокого приоритета, затем переходи к следующим. Если на одном уровне несколько действий, двигайся по выражению слева направо. После каждого шага записывай получившееся выражение, чтобы не потерять порядок.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 18 − 6 : 2. Здесь есть вычитание и деление, поэтому нельзя сразу выполнять действие, которое встретилось первым. Деление имеет более высокий приоритет, значит, сначала находим частное, а затем выполняем вычитание.

1. Выполняем деление: 6 : 2 = 3.
2. Подставляем результат в выражение: 18 − 3.
3. Вычитаем: 18 − 3 = 15.

Ответ: 15. Полезно проверить себя, посмотрев, не осталось ли в записи умножения или деления перед вычитанием. Здесь после деления осталось только одно действие.

Задача 2. Вычислить (18 − 6) : 2 и сравнить результат с выражением 18 − 6 : 2. Скобки требуют сначала выполнить вычитание в первой записи. Во второй записи скобок нет, поэтому сначала выполняется деление. Считаем обе записи отдельно, чтобы сравнить именно их значения.

1. Первая запись: сначала считаем в скобках, 18 − 6 = 12.
2. Делим полученный результат: 12 : 2 = 6.
3. Вторая запись: сначала 6 : 2 = 3, затем 18 − 3 = 15.
4. Сравниваем результаты: 6 < 15.

Ответ: (18 − 6) : 2 = 6, 18 − 6 : 2 = 15; первое значение меньше второго. Разница возникла потому, что скобки изменили порядок действий.

Задача 3. Вычислить 48 : 6 · 2 + 3 · (7 − 4) и записать получившееся числовое равенство. Начинаем со скобок, затем выполняем умножение и деление слева направо, а сложение оставляем напоследок. Такой разбор не позволяет перепутать соседние действия одного приоритета.

1. Считаем в скобках: 7 − 4 = 3. Получаем 48 : 6 · 2 + 3 · 3.
2. Деление и умножение слева направо: 48 : 6 = 8, затем 8 · 2 = 16.
3. Выполняем оставшееся умножение: 3 · 3 = 9. Получаем 16 + 9.
4. Складываем: 16 + 9 = 25.
5. Записываем равенство и проверяем сумму: 48 : 6 · 2 + 3 · (7 − 4) = 25.

Ответ: 25; числовое равенство верно. Проверка состоит в том, что вычисленное значение исходного выражения совпало с числом справа от знака равенства.

Типичные ошибки

Сложение выполняют раньше умножения. Так бывает, если читать выражение как обычную цепочку действий и не учитывать приоритет. Например, в 5 + 2 · 3 сначала нужно умножить, а не складывать. Для проверки отметь действия по порядку: умножение и деление должны быть выполнены до сложения и вычитания.

В умножении и делении сначала выбирают деление, где бы оно ни стояло. Ошибка возникает из-за неверного представления, что деление всегда важнее умножения. Но эти действия равноправны, поэтому в записи 24 : 6 · 2 первым будет действие слева — деление, а в 3 · 8 : 4 первым будет умножение. Проверь, что обрабатываешь выражение слева направо.

Не выполняют сначала действия в скобках. Иногда ученик начинает считать с умножения или деления за пределами скобок, забывая, что скобки задают первую часть вычисления. Например, в (4 + 2) · 3 сначала находят сумму 4 + 2. Чтобы себя проверить, найди скобки и вычисли их содержимое до перехода к остальной записи.

Считают, что разные записи обязательно имеют разные значения. Внешний вид выражения может отличаться, хотя после вычисления результаты совпадают; возможна и обратная ситуация. Ошибка появляется, когда сравнивают сами записи, а не их значения. Вычисли обе записи отдельно, соблюдая порядок действий, и только затем сравнивай полученные числа.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уверенно знать таблицу умножения, правила арифметических действий с натуральными числами и порядок действий в выражениях со скобками. Эти знания нужны, чтобы верно выполнять отдельные шаги и не путать вычисление с выбором его порядка. Правила числовых выражений пригодятся при работе с обыкновенными и десятичными дробями, а также с отрицательными числами. Они важны и в алгебре: при упрощении выражений порядок действий и скобки помогают правильно записывать и вычислять выражения с буквами.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и, возможно, скобок.
• Значение выражения получают, выполнив все предусмотренные действия.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одного приоритета выполняют слева направо.
• Скобки могут изменить порядок действий и значение выражения.