1. Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 12 − 2 · 3 — числовое выражение, потому что в нём числа соединены знаками действий. Отдельное число, например 12, не является числовым выражением в этом смысле: в нём не указано, какие действия нужно выполнить. Это различие помогает понять, что именно требуется вычислить.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий, указанных в записи. Например, значение выражения 7 + 5 равно 12. Выражение и его значение — не одно и то же: первое является записью, а второе — результатом вычисления. Понятие значения нужно, чтобы точно назвать ответ задачи.

Порядок действий — установленная очередность, в которой выполняют действия в выражении. Например, в записи 18 − 3 · 4 сначала умножают 3 на 4, а затем вычитают результат из 18. Без общего правила один и тот же пример могли бы вычислять по-разному. Порядок действий позволяет всем получить одинаковое значение.

Как это устроено

Если в выражении есть несколько действий, вычисление «как захочется» может привести к разным результатам. Например, запись 18 − 3 · 4 можно ошибочно прочитать как последовательное вычитание и умножение: (18 − 3) · 4 = 60. Если же сначала выполнить умножение, получится 18 − 12 = 6. Правила устанавливают единую очередность, поэтому выражение без скобок не приходится толковать по-разному.

В выражении без скобок сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, а последними — сложение и вычитание. Степень показывает, сколько одинаковых множителей нужно перемножить: например, 3² = 3 · 3. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, чтобы их результат можно было считать отдельным слагаемым или вычитаемым. Так вычисления идут от действий с более высоким приоритетом к более низкому.

Если в выражении несколько действий одного уровня, их выполняют слева направо. Например, умножение и деление равноправны, поэтому в записи 24 : 6 · 2 первым будет действие, стоящее левее: сначала 24 : 6, затем полученный результат умножают на 2. Такой же принцип действует для сложения и вычитания. Он нужен, потому что эти действия имеют одинаковый приоритет и сами по себе не задают, какое из них делать первым.

Скобки меняют обычную очередность: сначала находят значение выражения внутри скобок. Например, в записи 5 · (8 − 3) сначала вычисляют разность 8 − 3, а потом умножают результат на 5. Скобки как бы выделяют часть выражения, которую нужно обработать раньше окружающих её действий. Если скобок несколько, сначала выполняют действия во внутренних скобках.

Когда в выражении встречаются скобки, степени и действия разных уровней, его вычисляют последовательно. Сначала находят значения в скобках, затем выполняют степени, после — умножение и деление слева направо, а в конце — сложение и вычитание слева направо. После каждого действия можно переписать выражение, заменив выполненную часть её результатом. Такой способ помогает не пропустить ни один этап и легче заметить ошибку.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, затем переходи к следующему уровню. Если на одном уровне встретилось несколько действий, двигайся слева направо. После каждого шага переписывай оставшуюся часть выражения, чтобы не потерять порядок.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 18 − 3 · 4. Здесь есть умножение и вычитание, а умножение выполняют раньше. Поэтому сначала найдём произведение, а уже потом выполним вычитание. Так мы не будем менять установленную очередность.

1. Выполним умножение: 3 · 4 = 12.
2. Подставим результат в выражение: 18 − 12.
3. Вычтем: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Проверка порядка: умножение выполнено до вычитания, как и требуется.

Задача 2. Найти значение выражения 24 : 6 · 2 + 5. Деление и умножение имеют один уровень, поэтому сначала выполняем действие, которое стоит левее. Сложение оставляем напоследок, поскольку оно имеет более низкий приоритет. Это важно: нельзя сначала умножить 6 на 2 или прибавить 5 к промежуточному результату.

1. Слева стоит деление: 24 : 6 = 4.
2. Теперь выполняем умножение: 4 · 2 = 8.
3. Последним выполняем сложение: 8 + 5 = 13.

Ответ: 13. Полученное значение соответствует очередности: деление, умножение, сложение.

Задача 3. Найти значение выражения 2 · (7 − 3)² + 18 : 3. Сначала вычислим скобки, потому что они задают приоритет. Затем возведём результат в степень и выполним умножение и деление; эти два действия равноправны, но расположены в разных частях записи. Сложение сделаем последним.

1. Вычислим выражение в скобках: 7 − 3 = 4. Получим 2 · 4² + 18 : 3.
2. Возведём число в степень: 4² = 16. Теперь имеем 2 · 16 + 18 : 3.
3. Выполним умножение и деление: 2 · 16 = 32, 18 : 3 = 6. Получим 32 + 6.
4. Сложим: 32 + 6 = 38.

Ответ: 38. Каждый промежуточный результат подставляли на место выполненной части выражения.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять действия строго слева направо, не учитывая их приоритет. Например, если в выражении 18 − 3 · 4 сначала вычесть, получится неверный порядок и другое значение. Так поступают, когда привычку считать по порядку переносят на все выражение. Проверь себя: сначала отметь степени, затем умножение и деление, и только после них сложение и вычитание.

Нельзя сначала складывать или вычитать, а затем умножать или делить, если скобки этого не требуют. В записи 2 + 3 · 4 сперва находят произведение, а не сумму 2 + 3. Такая ошибка возникает, когда знаки читают просто слева направо. Проверка простая: выдели действия умножения и деления — они должны быть выполнены раньше сложения и вычитания.

Умножение не нужно автоматически выполнять раньше деления, а сложение — раньше вычитания. Действия каждой пары имеют одинаковый приоритет, поэтому порядок задаёт их положение слева направо. Ошибка появляется из-за представления, что один знак в паре «сильнее» другого. Чтобы проверить решение, посмотри, не перескочил ли ты через действие того же уровня, расположенное левее.

Нельзя пропускать вычисление выражения в скобках и сразу выполнять действие снаружи. Скобки обозначают часть, которую нужно посчитать первой, даже если рядом стоит умножение или деление. Их иногда не замечают, когда выражение длинное. Перед вычислением найди все скобки и начни с тех, которые расположены внутри других.

Связь с другими темами

Перед вычислениями нужно уметь выполнять арифметические действия и знать таблицу умножения. Порядок действий изучают ещё в начальной школе, а в алгебре используют для более сложных записей. Если эти навыки пока неуверенные, полезно отдельно потренировать вычисления и деление.

Те же правила понадобятся при работе с выражениями, в которых есть переменные. Переменной называют букву, вместо которой можно подставить число: после подстановки получившееся числовое выражение вычисляют по знакомому порядку. Это пригодится при упрощении выражений и проверке формул.

Порядок действий служит основой для вычислений с рациональными числами, степенями и формулами. В более сложных темах знаков и скобок становится больше, но очередность остаётся необходимой. Умение внимательно выполнять каждый шаг помогает избежать ошибок в длинных вычислениях.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий.
• Значение выражения получают, выполнив все указанные действия.
• Действия в скобках выполняют прежде остальных.
• Возведение в степень выполняют раньше умножения и деления.
• Умножение и деление предшествуют сложению и вычитанию.
• Действия одинакового уровня выполняют слева направо.