2. Выражения с переменными

Определения и обозначения

Переменная — буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. Например, в записи x + 4 буква x может обозначать разные числа. Переменные позволяют записывать общий способ вычисления, не выбирая заранее одно конкретное число.

Выражение с переменными — запись, составленная из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Например, 2a − 5 и x² + y — такие выражения. Они помогают описывать вычисления, в которых некоторые числа пока неизвестны или могут меняться.

Значение выражения с переменными — число, которое получается после подстановки чисел вместо переменных и выполнения действий. Например, если в выражении 3x + 2 взять x = 4, получим 14. Это понятие нужно, чтобы вычислять результат для выбранных значений букв.

Допустимое значение переменной — число, при котором выражение имеет смысл. Например, в дроби 1/(a − 2) знаменатель не может быть равен нулю, поэтому a не может быть равно 2. Проверка допустимых значений помогает не выполнять невозможное действие — деление на ноль.

Как это устроено

Буквенные обозначения нужны, когда одно правило должно подходить для разных чисел. Например, выражение 3x + 2 означает: выбранное число умножить на 3, а затем прибавить 2. При x = 1 результат будет 5, а при x = 4 — 14, но само правило записи остаётся тем же. Это удобно, потому что не приходится составлять отдельное описание для каждого случая.

Чтобы вычислить значение выражения, нужно заменить каждую переменную заданным числом. После замены получается обычное числовое выражение, которое считают по установленному порядку действий: сначала действия в скобках, затем степени и умножение с делением, потом сложение с вычитанием. Например, в 3x + 2 при x = 4 сначала получают 3 · 4, а затем прибавляют 2. Такая последовательность не позволяет перепутать смысл записи.

Отрицательное число при подстановке заключают в скобки, чтобы было видно, что знак минус относится к числу целиком. Это особенно важно при возведении в степень: если x = −3, то x² превращается в (−3)² и равно 9. Без скобок запись −3² означает, что сначала возводят 3 в квадрат, а затем ставят минус: результат равен −9. Скобки помогают сохранить исходную структуру выражения.

Допустимые значения находят, проверяя, не появляется ли действие, которое нельзя выполнить. В школьных выражениях с дробями прежде всего проверяют знаменатель: он должен быть отличен от нуля. Например, в 1/(a − 2) нужно исключить a = 2, потому что тогда знаменатель станет нулём. Остальные значения a допустимы, если в выражении нет других ограничений.

Одно и то же выражение может давать разные результаты, потому что переменные могут принимать разные значения. В выражении 3x + 2 подстановка x = 4 даёт 14, а подстановка x = 1 даёт 5. При этом важно сравнивать результаты только для допустимых значений переменных. Если выражение не имеет смысла при выбранной подстановке, его значение вычислить нельзя.

Подстановка значений переменных и вычисление выражений

В таблице показано, как заменить переменные числами и что проверить перед вычислением. Сначала найди нужную строку с подстановкой, затем выполни действия или проверь знаменатель. Если знаменатель равен нулю, выражение не имеет смысла.

Разбор задач

Задача 1. Найдите значение выражения 5x − 3 при x = 2. Здесь нужно заменить букву указанным числом, а затем выполнить умножение и вычитание. Поскольку подставляется положительное число, дополнительных скобок для него не требуется.

1. Заменяем x на 2: получаем 5 · 2 − 3.
2. Сначала умножаем: 5 · 2 = 10.
3. Вычитаем 3: 10 − 3 = 7.

Ответ: 7.

Задача 2. Найдите значение выражения a² − 2b при a = −4 и b = 3. Переменная a стоит в степени, поэтому отрицательное число нужно подставить в скобках. Затем сначала вычисляем степень и умножение, а в конце выполняем вычитание.

1. Подставляем значения: (−4)² − 2 · 3.
2. Вычисляем степень и умножение: (−4)² = 16, а 2 · 3 = 6.
3. Вычитаем: 16 − 6 = 10.

Ответ: 10.

Задача 3. При каких значениях x имеет смысл выражение 7/(x − 5)? Найдите его значение при x = 3. Сначала определим, когда знаменатель обращается в ноль, потому что делить на ноль нельзя. Затем проверим, подходит ли заданное значение x, и вычислим дробь.

1. Знаменатель равен нулю при x − 5 = 0, то есть при x = 5. Это значение исключаем; выражение имеет смысл при x ≠ 5.
2. Число 3 допустимо, так как оно не равно 5. Подставляем: 7/(3 − 5) = 7/(−2).
3. Вычисляем: 7/(−2) = −7/2.

Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ 5; при x = 3 его значение равно −7/2.

Типичные ошибки

• Подстановка отрицательного числа без скобок может привести к неверной степени: вместо (−3)² ученик вычисляет −3² и получает −9 вместо 9. Так происходит, когда не учитывают, что знак минус и число должны подставляться вместе. Для проверки перепиши подстановку со скобками и отдельно сравни записи (−3)² и −(3²).

• Иногда считают, что знак минус перед переменной автоматически входит в её значение. Но при подстановке важно сохранить всю структуру выражения: если в записи стоит −x, а x = −3, получается −(−3), то есть 3. Проверяй, к чему относится знак минус — к переменной или к уже подставленному числу.

• Нарушение порядка действий после подстановки меняет результат. Например, в 3 · 4 + 2 сначала выполняют умножение, а не сложение. Ошибку допускают, если считают выражение слева направо, не обращая внимания на правила. Проверяй себя: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

• Если не проверить знаменатель, можно подставить число, при котором возникает деление на ноль. Например, при a = 2 выражение 1/(a − 2) не имеет смысла. Это легко пропустить, если сразу начать вычислять дробь. Перед подстановкой найди значения, обращающие знаменатель в ноль, и исключи их.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями с переменными нужны навыки, которые изучались раньше: порядок выполнения арифметических действий, работа со скобками и действия с отрицательными числами. Без них легко ошибиться при подстановке и вычислении. Полезно повторить эти правила, если решение не получается.

Подстановка значений встречается и в следующих темах. С её помощью вычисляют значения формул, проверяют решения уравнений и находят значения функций. Во всех этих случаях буква обозначает число, а правила подстановки и порядок действий остаются теми же.

Что запомнить

• Чтобы найти значение выражения, подставь заданные числа вместо переменных.
• После подстановки выполняй действия по установленному порядку.
• Отрицательное значение переменной при подстановке заключай в скобки.
• Значение выражения может меняться при изменении значений переменных.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Сначала проверь, при каких значениях переменных выражение имеет смысл.