3. Выражения с переменными

Определения и обозначения

Переменная — буква, обозначающая число, значение которого может изменяться. Например, буква a может обозначать 2, 5 или −1 в разных ситуациях. Благодаря переменной одну запись можно использовать для разных чисел.

Выражение с переменными — запись, составленная из чисел, переменных и знаков арифметических действий. Примеры: 4x + 7, ab − 3 и (m + 2)/5. Такая запись помогает описывать вычисления кратко, не выписывая каждый возможный случай.

Значение выражения — число, полученное после подстановки конкретных значений переменных и выполнения действий. Например, при x = 3 значение выражения 2x + 1 равно 7. Пока значения букв не заданы, обычно говорят не о результате, а о самом выражении.

Допустимые значения переменных — такие значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в дроби 5/(x − 2) нельзя брать x = 2, потому что знаменатель станет нулём. Проверка допустимости нужна до вычислений, чтобы не выполнять запрещённое действие.

Как это устроено

Буквенная запись позволяет кратко описывать не одно число, а целое множество числовых случаев. Например, выражение 2n + 1 задаёт нечётное число для каждого целого n. Вместо длинного списка 1, 3, 5, 7 можно использовать одну формулу и менять значение переменной.

Чтобы получить значение выражения, сначала вместо каждой переменной подставляют указанное число, обычно заключая его в скобки. Затем раскрывают скобки, если это нужно, и выполняют действия в установленном порядке: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание. Такой порядок нужен, чтобы одна и та же запись давала одинаковый результат у всех, кто её вычисляет.

Одинаковая запись может давать разные значения, потому что переменные могут обозначать разные числа. Например, при a = 2 выражение a + 5 равно 7, а при a = 10 оно равно 15. Сама формула остаётся неизменной, меняется только результат её вычисления.

Некоторые действия ограничивают выбор переменных. При делении знаменатель не должен обращаться в ноль, а при извлечении квадратного корня подкоренное выражение не должно быть отрицательным в обычных действительных числах. Отрицательное число при подстановке заключают в скобки: запись 5(−2) ясно показывает, что умножается именно на всё число −2, а не только на его модуль.

Основные понятия темы

В таблице собраны главные термины параграфа. По столбцу «Что означает» можно быстро восстановить определение, а по примеру — проверить, как понятие используется в записи или вычислении.

Разбор задач

Задача 1

Найдём значение выражения 3a − 2b при a = 4 и b = −1. Отрицательное значение b подставим в скобках, чтобы сохранить его знак. После подстановки выполним умножение и вычитание.

1. 3a − 2b = 3(4) − 2(−1).
2. 3(4) = 12, а 2(−1) = −2.
3. 12 − (−2) = 14.

Ответ: 14.

Задача 2

Рассмотрим выражение (x + 5)/(x − 3). Сначала проверим, когда оно имеет смысл, потому что деление на ноль невозможно. Затем найдём значение при x = 8.

1. x − 3 ≠ 0, поэтому x ≠ 3.
2. При x = 8 получаем (8 + 5)/(8 − 3) = 13/5.
3. Значение 8 допустимо, так как знаменатель равен 5, а не нулю.

Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ 3; при x = 8 его значение равно 13/5.

Задача 3

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна x см. Тогда большая сторона равна x + 3 см, а периметр можно записать как 2x + 2(x + 3). По условию этот периметр равен 34 см, поэтому составим уравнение и проверим стороны.

1. 2x + 2(x + 3) = 34.
2. 2x + 2x + 6 = 34, значит 4x = 28.
3. x = 7, а большая сторона равна 7 + 3 = 10 см.
4. Проверка: 2(7 + 10) = 34.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 10 см; выражение для периметра — 2x + 2(x + 3).

Типичные ошибки

Подстановка отрицательного числа без скобок. Запись 3a при a = −2 превращают в 3−2, хотя правильно 3(−2). Проверьте себя: после подстановки знак минус должен относиться ко всему отрицательному числу.

Смешение переменной и её значения. Иногда число заменяют буквой только в одном месте, хотя переменная встречается несколько раз. Нужно найти все одинаковые буквы и подставить одно и то же заданное значение в каждую.

Игнорирование нулевого знаменателя. Ошибка появляется, когда вычисления начинают сразу, не проверив дробь. Приравняйте знаменатель к нулю и исключите найденное значение из допустимых.

Нарушение порядка действий. Сложение выполняют раньше умножения или деления, из-за чего меняется результат. Проверьте выражение по шагам: скобки, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны знания о натуральных, целых и рациональных числах, действиях с ними и порядке вычислений. Без этих правил нельзя правильно подставить значение и получить результат.

Выражения с переменными используются в формулах, уравнениях и задачах о зависимостях между величинами. С их помощью условие переводят с обычного языка на язык математики.

Далее эти записи понадобятся при преобразовании многочленов, решении уравнений и построении графиков. Умение находить допустимые значения помогает не допускать ошибок в более сложных выражениях.

Что запомнить

• Переменная обозначает число, значение которого может изменяться.
• Выражение с переменными состоит из чисел, переменных и знаков действий.
• Значение выражения находят после подстановки конкретных значений переменных.
• При подстановке отрицательные числа заключают в скобки.
• Недопустимыми являются значения, при которых выражение не имеет смысла.
• В выражении с делением знаменатель не должен быть равен нулю.