"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Выражение с переменными — это запись из чисел, букв, знаков действий и скобок. Буквы обозначают числа, поэтому вместо них можно подставить заданные значения и вычислить получившееся числовое выражение. Такие записи помогают описывать вычисления для разных чисел и работать с формулами. При подстановке нужно соблюдать порядок действий и проверять, имеет ли выражение смысл при выбранном значении переменной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выражение с переменными — это запись, которая состоит из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Переменная — буква, обозначающая число, например x или a. Такая запись позволяет описать вычисление, не выбирая заранее конкретное число.
Значение выражения — это число, которое получается, если подставить вместо переменных числа и выполнить все действия. Например, значение выражения 2x при x = 3 равно 6. Понятие значения нужно, чтобы вычислять результат для заданных величин и сравнивать результаты при разных подстановках.
Допустимое значение переменной — это такое число, при котором выражение имеет смысл. Например, в дроби знаменатель не должен быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Проверка допустимых значений помогает не выполнять невозможное действие и не получать запись без смысла.
Числовое выражение, например 4 · 3 − 2, можно превратить в выражение с переменными, заменив одно или несколько чисел буквами. Если заменить число 3 буквой a, получится 4a − 2. Такая запись сразу подходит для разных значений a, поэтому не приходится составлять отдельное выражение для каждого числа.
Буквы в алгебраических выражениях обозначают числа, а не предметы или названия. Знаки действий показывают, что нужно сделать с этими числами: например, 3a означает умножение 3 на a, а скобки объединяют действия, которые выполняются вместе. По расположению знаков можно прочитать порядок вычислений, даже если числовые значения букв пока неизвестны.
Чтобы найти значение выражения, сначала вместо каждой переменной записывают её заданное значение. Затем выполняют действия по правилам порядка действий: сначала действия в скобках, затем степени, умножение и деление, после них сложение и вычитание. Так буквенная запись превращается в числовую, а вычисление завершается конкретным ответом.
При подстановке отрицательного числа его удобно заключать в скобки, потому что знак минус тоже относится к подставляемому числу. Например, при x = −2 выражение x² записывают как (−2)²: сначала возводят в квадрат всё число и получают 4. Без скобок запись −2² означает противоположное число к 2², то есть −4, поэтому смысл вычисления изменился бы.
Допустимые значения находят, проверяя, какие действия входят в выражение и при каких числах их можно выполнить. Для обычных сложения, вычитания и умножения ограничений нет, а при делении нужно исключить значения, обнуляющие знаменатель. Например, в выражении 7/(x − 2) нельзя брать x = 2, поскольку тогда знаменатель станет нулём.
| Что сравниваем | Числовое выражение | Выражение с переменными |
|---|---|---|
| Какие числа и знаки содержит | Числа, знаки действий и скобки | Числа, буквы, знаки действий и скобки |
| Как получают значение | Выполняют записанные действия | Подставляют значения букв и выполняют действия |
| Что может ограничивать допустимые значения | Ограничений для подстановки нет | Например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю |
Сравнивай выражения по строкам: так видно, что буквенная запись может подходить сразу для разных чисел. Чтобы получить конкретный результат, используй заданные значения переменных. Если есть дробь, отдельно проверь, что её знаменатель не обращается в ноль.
Задача 1. Найти значение выражения 3a − 5 при a = 4. Здесь дана переменная a и указано, каким числом её заменить. После подстановки останется вычислить числовое выражение.
Задача 2. Найти значение выражения 2x² − 3y при x = −2 и y = 5. Подставляем значения обеих переменных, причём отрицательное значение x берём в скобки. Затем соблюдаем порядок действий: сначала степень, затем умножение, а после него вычитание.
Задача 3. При каких значениях x имеет смысл выражение 7/(x − 2), и чему оно равно при x = 5? Сначала проверяем, когда дробь можно вычислить. Затем отдельно подставляем указанное значение, убедившись, что оно допустимо.
При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки и путают −2² с (−2)². Это происходит потому, что знак минус принимают за часть степени, хотя без скобок он относится ко всему результату возведения в квадрат. Проверяй, какое именно число возводится в степень, и записывай отрицательное значение переменной в скобках.
Ещё одна ошибка — выполнять действия не по порядку, например сначала вычитать, а потом умножать. После подстановки выражение становится числовым, но правила вычислений не меняются. Проверь, выполнены ли сначала действия в скобках и степени, а затем умножение и деление.
Нельзя считать, что переменная всегда может принимать любое число: отдельные значения могут сделать выражение бессмысленным. Чаще всего это происходит, когда знаменатель дроби становится равным нулю. Перед вычислением найди знаменатель и проверь, не обнуляется ли он при выбранной подстановке.
Выражение и его значение — не одно и то же: запись 3a − 5 сама по себе ещё не является конкретным числом. Иногда ученик называет выражение ответом, не подставив число вместо переменной. Чтобы проверить себя, убедись, что все переменные заменены и действия выполнены, если требуется найти значение.
Для вычислений с переменными нужны навыки работы с рациональными числами, скобками и порядком действий. Эти умения пригодятся при упрощении выражений и решении уравнений, где буквенные записи помогают увидеть связи между числами. Подстановка значений в выражения также нужна при вычислении формул для заданных величин. Запись чисел буквами подготавливает к изучению тождеств и формул, которые описывают общие правила.
Чем выражение с переменными отличается от числового выражения?
В числовом выражении есть числа и знаки действий, а в выражении с переменными некоторые числа обозначены буквами. Если подставить вместо букв числа, получится числовое выражение.
Как найти значение выражения при заданных значениях переменных?
Нужно заменить каждую переменную заданным числом и вычислить получившееся выражение. При этом соблюдают порядок действий и учитывают скобки.
Почему отрицательное число при подстановке нужно заключать в скобки?
Скобки показывают, что отрицательное число подставляется целиком. Например, при x = −2 запись x² становится (−2)² = 4, а не −2² = −4.
Как определить, при каких значениях переменной выражение имеет смысл?
Нужно проверить, не приводит ли подстановка к действию, которое выполнить нельзя. Например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Можно ли считать значение выражения, если переменным не заданы числа?
Обычно числовое значение найти нельзя: неизвестно, какие числа подставлять вместо букв. Можно только преобразовывать само выражение или указать, какие значения переменных допустимы.
5. Выражения с переменными
