2. Выражения с переменными

Определения и обозначения

Выражение с переменными — запись из чисел, переменных, знаков действий и скобок, задающая правило вычисления. Например, 3x + 2 — это правило: умножить x на 3 и прибавить 2. Такая запись позволяет не составлять отдельное выражение для каждого возможного числа.

Переменная — буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. В записи 3x + 2 буква x может обозначать, например, 1, 4 или −2. Благодаря переменной одно правило подходит для разных чисел.

Значение выражения — число, полученное после подстановки чисел вместо переменных и выполнения действий. У выражения 3x + 2 при разных значениях x могут получиться разные значения. Этот термин нужен, чтобы отличать само правило от конкретного результата вычислений.

Подстановка значения переменной — замена буквы заданным числом с последующим вычислением выражения. Если x = 4, то в записи 3x + 2 вместо x пишут 4. Подстановка показывает, какой результат даёт правило в выбранном случае.

Как это устроено

Числовое выражение описывает вычисления для конкретных чисел: например, 3 · 4 + 2. Если вместо одного числа поставить букву, получится выражение с переменной: 3x + 2. Буква сохраняет место числа, поэтому запись задаёт то же правило сразу для множества вариантов. Так удобнее описывать закономерность, не переписывая её для каждого возможного значения.

Значение выражения зависит от переменной, потому что её подстановка меняет числа, с которыми выполняются действия. Например, при x = 1 выражение 3x + 2 даёт 5, а при x = 4 — 14. Само правило 3x + 2 осталось прежним, изменился только выбранный входной номер. Поэтому, вычисляя значение, всегда учитывают, какое число задано для переменной.

Чтобы найти значение, сначала заменяют каждую переменную указанным числом, а затем считают получившееся числовое выражение. Если в записи несколько букв, нужно подставить числа вместо всех тех переменных, значения которых заданы. После замены соблюдают обычный порядок действий: сначала выполняют действия в скобках и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Такая последовательность помогает не изменить смысл правила.

Отрицательное число при подстановке записывают в скобках, потому что оно должно заменить букву целиком. Например, при a = −3 запись 5 − 2a превращается в 5 − 2·(−3), а не в неясное 5 − 2−3. Теперь видно, что перед скобками стоит знак вычитания, а внутри записано отрицательное число. Сначала выполняют умножение: 2·(−3) = −6, поэтому выражение равно 5 − (−6) = 11.

Выражение с переменными и его значение

Таблица показывает общий порядок работы: сначала выпишите условие, затем сделайте подстановку и только после этого вычисляйте. В последней строке запишите найденное значение выражения. Если есть отрицательное число, заключите его в скобки при подстановке.

Разбор задач

Задача 1. Найдите значение выражения 3x + 2 при x = 4. Здесь переменная одна, а её значение положительное, поэтому достаточно заменить x числом 4. Затем сначала выполним умножение, а потом сложение.

1. Подставим вместо x число 4: 3x + 2 = 3·4 + 2.
2. Выполним умножение: 3·4 + 2 = 12 + 2.
3. Выполним сложение: 12 + 2 = 14.

Ответ: 14. Чтобы проверить вычисление, можно ещё раз посмотреть, что 4 умножили на 3 и прибавили 2, как и требовало исходное выражение.

Задача 2. Найдите значение выражения 5 − 2a при a = −3. Здесь важно заменить букву целым отрицательным числом, поэтому сразу запишем его в скобках. Умножение выполняется раньше вычитания, а произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.

1. Подставим a = −3: 5 − 2a = 5 − 2·(−3).
2. Выполним умножение: 2·(−3) = −6, значит, получаем 5 − (−6).
3. Вычитание отрицательного числа заменим сложением: 5 − (−6) = 5 + 6 = 11.

Ответ: 11. Скобки помогли увидеть оба знака: перед произведением стоит минус, и само произведение тоже отрицательное.

Задача 3. Найдите значение выражения 2x² − 3xy + y² при x = −2 и y = 3. В выражении две переменные, поэтому нужно заменить обе, а отрицательное значение x взять в скобки. Сначала вычислим степени, после — умножения, затем сложение и вычитание.

1. Подставим числа: 2·(−2)² − 3·(−2)·3 + 3².
2. Вычислим степени: (−2)² = 4 и 3² = 9. Получаем 2·4 − 3·(−2)·3 + 9.
3. Выполним умножение: 8 − (−18) + 9.
4. Выполним действия сложения и вычитания: 8 + 18 + 9 = 35.

Ответ: 35. Скобки в степени особенно важны: (−2)² означает умножить −2 на −2, поэтому результат равен 4.

Типичные ошибки

Отрицательное число иногда подставляют без скобок: вместо 5 − 2·(−3) записывают 5 − 2·−3. Из-за этого можно неверно прочитать, к чему относится знак минус, и изменить порядок вычислений. Такая ошибка возникает, когда считают, что буква и знак числа — это отдельные части записи. Проверяйте себя: число должно заменить переменную целиком, поэтому отрицательное значение ставьте в скобки.

Можно перепутать минус перед переменной со знаком самого значения. Например, в 5 − 2a знак вычитания уже есть, а при a = −3 внутри подстановки появляется ещё один минус. Если учитывать только один из них, потеряется знак произведения. Запишите замену подробно как 5 − 2·(−3), а затем отдельно вычислите произведение.

Ещё одна ошибка — выполнять действия не по порядку, например сначала складывать или вычитать, хотя в записи осталось умножение. Так делают, если вычисляют слева направо, не обращая внимания на правила порядка действий. Для проверки отметьте, какие действия нужно выполнить первыми: скобки и степени, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание.

Если переменных несколько, иногда подставляют значение только вместо одной буквы. Тогда в записи остаётся переменная, и выражение ещё нельзя вычислить до числа. Это случается, когда при чтении условия замечают не все обозначения. Перед вычислениями сверьте исходную запись с условием и убедитесь, что заменили каждую переменную, для которой дано значение.

Связь с другими темами

Для вычислений с переменными нужны знания о действиях с натуральными, целыми и дробными числами, включая отрицательные числа. Также важно соблюдать порядок действий и уметь раскрывать скобки: это помогает правильно считать после подстановки. Выражения с переменными станут основой для тождественных преобразований, уравнений и формул. В этих темах буквы тоже обозначают числа, но запись может служить для преобразования, поиска неизвестного или описания правила.

Что запомнить

• Буква в выражении обозначает переменную.
• Значение выражения находят подстановкой чисел вместо переменных.
• Если переменных несколько, заменяют каждую из них заданным числом.
• Отрицательное подставляемое число удобно заключать в скобки.
• После подстановки соблюдают обычный порядок действий.
• При разных значениях переменной значение выражения может меняться.