1. Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, которая задаёт последовательность вычислений. Например, 18 − 6 : 3 — выражение, хотя результат в нём ещё не записан. Это понятие помогает отличать саму запись от числа, которое получится при вычислении.

Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий. У выражения 18 − 6 : 3 значение равно 16, потому что деление выполняют раньше вычитания. Поиск значения нужен, чтобы получить конкретный ответ из записи вычислений.

Порядок действий — правила, по которым определяют, в какой последовательности выполнять вычисления в выражении. Он подсказывает, с чего начать, если в записи есть разные действия. Благодаря этим правилам разные люди вычисляют одно выражение одинаково.

Скобки — знаки, которые показывают, какие действия нужно выполнить раньше остальных. Например, в записи (18 − 6) : 3 сначала находят разность. Скобки нужны, чтобы задать особую последовательность вычислений и избежать неверного результата.

Как это устроено

Числовое выражение составляют из чисел и знаков арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Оно не является готовым ответом, а задаёт, что именно нужно вычислить. Пока все действия не выполнены, результат остаётся не найденным, даже если запись уже составлена.

Чтобы найти значение, сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, после — умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Такой порядок нужен, чтобы выражение читалось одинаково всеми и давало один результат. Например, в 18 − 6 : 3 сначала делят 6 на 3, а не вычитают 6 из 18.

Действия одного порядка выполняют слева направо. Это правило особенно важно, когда в записи подряд стоят умножение и деление или сложение и вычитание: нельзя произвольно выбирать, какое из них делать первым. Например, в 24 : 3 · 2 сначала получают 24 : 3 = 8, а затем вычисляют 8 · 2 = 16.

Скобки меняют обычный порядок вычислений, потому что задают отдельную часть выражения, которую нужно обработать первой. Внутри скобок тоже соблюдают правила порядка действий: если есть умножение и сложение, сначала выполняют умножение. Поэтому в 48 : (7 − 3 · 2) сначала вычисляют 3 · 2, а затем вычитают результат из 7.

Деление на нуль не определено: не существует числа, которое при умножении на нуль даст делимое, отличное от нуля. Поэтому выражение нельзя считать, если в ходе вычислений приходится делить на нуль. Нужно проверить, не стал ли нулём знаменатель — число, на которое делят, — прежде чем записывать ответ.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь скобки, затем переходи к действиям следующей очереди. Если в одной очереди несколько действий, двигайся слева направо. После каждого шага можно переписать выражение, заменив выполненное действие его результатом.

Разбор задач

Задача 1

Найдите значение выражения 18 − 6 : 3. В записи есть вычитание и деление, поэтому нельзя просто начинать с первого знака слева. Сначала нужно выполнить действие с более высоким приоритетом.

1. Находим деление: 6 : 3 = 2. Деление выполняется раньше вычитания.
2. Подставляем результат в запись: 18 − 2.
3. Вычитаем: 18 − 2 = 16.

Ответ: 16. Проверка хода решения: сначала выполнено деление, затем вычитание, как требует порядок действий. Если бы мы начали с вычитания, то получили бы другой результат, но нарушили бы правило.

Задача 2

Найдите значение выражения (18 − 6) : 3 + 2 · 4. Скобки указывают на действие, которое нужно выполнить первым, а далее в выражении есть деление, умножение и сложение. Чтобы не перепутать шаги, будем заменять выполненные действия их результатами.

1. Выполняем действие в скобках: 18 − 6 = 12. Получаем 12 : 3 + 2 · 4.
2. Выполняем деление и умножение слева направо: 12 : 3 = 4 и 2 · 4 = 8. Эти действия независимы друг от друга, поэтому можно вычислить оба.
3. Складываем полученные числа: 4 + 8 = 12.

Ответ: 12. Сначала мы учли скобки, затем выполнили деление и умножение, а сложение оставили напоследок. Такой разбор позволяет увидеть, откуда появился каждый промежуточный результат.

Задача 3

Найдите значение выражения 48 : (7 − 3 · 2) − 5. Здесь важно не только соблюдать порядок внутри скобок, но и проверить знаменатель деления. Если после вычисления скобок он окажется равен нулю, найти значение всего выражения нельзя.

1. В скобках сначала выполняем умножение: 3 · 2 = 6. Получаем 48 : (7 − 6) − 5.
2. Вычисляем разность в скобках: 7 − 6 = 1. Делитель равен 1, значит, деление на нуль не возникает.
3. Выполняем деление: 48 : 1 = 48, затем вычитание: 48 − 5 = 43.

Ответ: 43. Проверка знаменателя помогла убедиться, что вычисление допустимо. Если бы в скобках получилось 0, выражение не имело бы значения, и продолжать деление было бы нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять действия строго слева направо, не учитывая их приоритет. Так поступают, когда читают запись как обычный текст, но в выражении 18 − 6 : 3 сначала нужно делить. Проверь себя: отметь действия разных порядков и убедись, что деление сделано раньше вычитания.

Иногда сложение или вычитание выполняют раньше умножения и деления, потому что эти знаки стоят левее. Это нарушает установленную последовательность вычислений и меняет ответ. Для проверки сравни действие, которое ты выполнил первым, с таблицей порядка действий.

При действиях одного порядка ошибочно менять направление вычислений или сначала выполнять все операции одного вида. Такое случается, когда ученик помнит приоритет умножения, но забывает, что деление имеет тот же приоритет. Перепиши действия в исходном порядке и проверь, что начал с самого левого из них.

Ещё одна ошибка — не проверять, что стоит в знаменателе, то есть на какое число делят. Знаменатель может стать нулём после вычисления скобок, и тогда деление невозможно. Перед тем как записать ответ, вычисли делитель и убедись, что он не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с числовыми выражениями нужно уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами и дробями. Также важно понимать смысл скобок: они выделяют действия, которые требуется выполнить раньше остальных. Эти знания позволяют вычислять выражения, не пропуская ни одного шага.

Правило порядка действий пригодится, когда в выражениях появятся переменные — буквы, обозначающие числа. Оно также нужно при преобразовании алгебраических выражений, то есть при изменении их записи без изменения значения. Если соблюдать порядок вычислений, проще проверить преобразования и избежать ошибок.

Что запомнить

• Числовое выражение задаёт вычисление.
• Значение выражения — результат всех вычислений.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одного порядка выполняют слева направо.
• На нуль делить нельзя.