4.1. Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 8 + 5, 24 : 6 + 3 · 5 и 48 : (5 − 1) являются числовыми выражениями. Отдельное число тоже можно считать простейшим выражением, хотя в нём нет знака действия.

Значение числового выражения — это число, полученное после выполнения всех действий, указанных в записи. Например, значение выражения 7 · 3 − 2 равно 19. По значению можно проверить, к какому результату приводит вся цепочка вычислений.

Порядок действий — установленная очередность выполнения арифметических операций в выражении. Он помогает не перепутать результат, когда в записи встречаются разные действия и скобки. Если соблюдать этот порядок, одну и ту же запись все будут вычислять одинаково.

Как это устроено

Числовое выражение составляют, соединяя числа знаками сложения, вычитания, умножения или деления. Например, из чисел 12 и 4 можно получить 12 + 4, 12 − 4, 12 · 4 или 12 : 4. Отдельное число только называет величину, а выражение может показывать действие или несколько последовательных действий над числами.

Чтобы вычислить выражение, нужно не просто читать его слева направо, а выполнять действия в установленной очередности. После каждого действия появляется промежуточный результат, который используется дальше. Например, в записи 6 · 4 + 3 сначала находят произведение 24, а затем прибавляют 3 и получают 27.

Скобки нужны, чтобы специально выделить часть выражения и указать: её следует вычислить раньше соседних действий. В выражении 5 · (2 + 3) сначала находят сумму в скобках, потому что именно она должна стать множителем. Без скобок запись 5 · 2 + 3 имела бы другой порядок и другое значение.

Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, двигаясь слева направо. Затем выполняют сложение и вычитание, также слева направо. Такое правило не означает, что сложение всегда выполняется после каждого действия: сначала заканчивают все умножения и деления, а потом переходят к действиям второй ступени.

В выражениях с несколькими видами скобок начинают с самых внутренних. Получив результат внутри них, переходят к скобкам, которые их окружали, и только потом выполняют остальные действия. Например, в 2 · (7 − (3 + 1)) сначала считают 3 + 1, затем 7 − 4, а после этого умножают результат на 2.

Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом проверки: сначала найдите скобки, затем действия первого приоритета и только после этого действия второго приоритета. Если рядом стоят умножение и деление или сложение и вычитание, двигайтесь слева направо. Каждый найденный результат можно мысленно заменить в выражении новым числом.

Разбор задач

1. Вычислите значение выражения 18 − 7 + 4.

Скобок и умножения с делением здесь нет, поэтому оба действия относятся к одному приоритету. Значит, начинать нужно с действия, стоящего левее. После него в записи останется простое сложение.

1. Выполняем вычитание: 18 − 7 = 11.
2. Прибавляем 4: 11 + 4 = 15.

Ответ: 15.

2. Вычислите значение выражения 24 : 6 + 3 · 5.

Сначала отмечаем действия первого приоритета: деление и умножение. Они стоят рядом с разными числами, но оба должны быть выполнены раньше сложения. После их выполнения останется сложить два полученных результата.

1. Выполняем деление: 24 : 6 = 4.
2. Выполняем умножение: 3 · 5 = 15.
3. Складываем результаты: 4 + 15 = 19.

Ответ: 19.

3. Вычислите значение выражения 48 : (2 · (5 − 1)) + 7.

В записи две пары скобок, поэтому начинаем с самой внутренней. Затем вычисляем выражение во внешних скобках, после чего выполняем деление и сложение. Такой порядок не позволяет разделить 48 на неполный результат.

1. Считаем внутренние скобки: 5 − 1 = 4.
2. Находим произведение во внешних скобках: 2 · 4 = 8.
3. Выполняем деление: 48 : 8 = 6.
4. Прибавляем 7: 6 + 7 = 13.

Ответ: 13.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Выполняют все действия слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Так происходит, потому что ученик видит порядок знаков, а не правила вычислений. Проверьте себя: сначала подчеркните скобки и действия умножения или деления.

Ошибка 2. Считают сложение раньше умножения, если знак «+» записан левее. Причина — перенос привычки читать строку без остановки. Сравните свой способ с правилом: сначала должны исчезнуть все действия первого приоритета.

Ошибка 3. Начинают с внешних скобок. В сложной записи это приводит к попытке выполнить действие, внутри которого ещё нет готового результата. Найдите скобки, в которых нет других скобок, и начинайте именно с них.

Ошибка 4. Думают, что сложение или вычитание всегда выполняется раньше умножения или деления. На самом деле действия одного приоритета равноправны и идут слева направо. Для проверки расставьте мысленные шаги: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уверенно складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа, а также понимать смысл скобок. Без этих навыков трудно получить верный результат даже при правильном порядке действий.

Числовые выражения станут основой для выражений с переменными, формул и уравнений. Позже вместо конкретных чисел появятся буквы, но правила работы со скобками и приоритетами сохранятся.

Этот навык пригодится и при вычислениях с дробями и алгебраическими выражениями. Умение разбивать длинную запись на последовательные шаги помогает быстрее находить и исправлять ошибки.

Что запомнить

• Числовое выражение составляют из чисел, знаков действий и скобок.
• Значение выражения получают, выполнив все указанные действия.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одного приоритета выполняют слева направо.
• В выражении с несколькими скобками начинают с внутренних.