§ 4. Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями: 5x²y, −ab³, 7. Сложение и вычитание в одночлен не входят, поэтому x + 2 одночленом не является. Это определение помогает отличать одночлены от других алгебраических выражений.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. Если число перед переменными не записано, коэффициент считают равным 1: ab = 1 · ab; у одночлена, равного нулю, коэффициент равен 0. Коэффициент нужен, чтобы отдельно работать с числом и с переменными.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а каждая переменная встречается только в одной степени. Например, 2a · 3a²b приводится к виду 6a³b. При этом одинаковые степени объединяются, то есть их произведение заменяется одной степенью с суммарным показателем.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. В одночлене 4x²y³ степень равна 5, а степень любой ненулевой константы, например 8, равна 0. Степень нулевого одночлена не определяется.

Как это устроено

Произведение одинаковых переменных удобно записывать степенью: a · a · a = a³. Порядок множителей можно менять по переместительному свойству умножения, поэтому 2 · a · b · a можно перестроить как 2 · a · a · b. Затем повторяющиеся множители объединяют и получают 2a²b.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала перемножают его числовые множители. Потом для каждой переменной собирают все одинаковые множители и складывают их показатели: a² · a³ = a⁵. Так выражение становится короче, а его коэффициент и степень определяются без путаницы.

Произведение одночленов снова является одночленом, потому что при умножении не появляются знаки сложения или переменные в отрицательных степенях. Коэффициенты перемножаются, а показатели одинаковых переменных складываются: (2x²y)(−3xy³) = −6x³y⁴. Переменные, которые встретились только в одном множителе, сохраняют свои показатели.

Степень произведения равна сумме степеней его множителей. Например, степень 2x² равна 2, степень 3y³ равна 3, а степень их произведения 6x²y³ равна 5. Это происходит потому, что при умножении показатели каждой переменной складываются, и в общей сумме складываются также все показатели обоих множителей.

Возведение одночлена в натуральную степень означает умножение его самого на себя несколько раз. Поэтому коэффициент возводится в эту степень, а показатель каждой переменной умножается на показатель степени: (3a²b)² = 3²a⁴b². При нечётной степени знак отрицательного коэффициента сохраняется, а при чётной становится положительным.

Одночлен: стандартный вид и действия с ним

В таблице показано, что происходит с коэффициентом и показателями в разных ситуациях. Сначала определите действие, затем примените соответствующее правило к числовой части и переменным. Последний столбец помогает проверить, получена ли правильная запись.

Разбор задач

Задача 1. Привести одночлен 3a · (−2a²b) к стандартному виду и указать его коэффициент и степень. Сначала отделим числовые множители от переменных. Затем объединим одинаковые переменные и только после этого найдём степень результата.

1. Перемножаем коэффициенты: 3 · (−2) = −6.
2. Для a складываем показатели: a · a² = a³; переменная b встречается один раз и остаётся b.
3. Получаем −6a³b, а его степень равна 3 + 1 = 4.

Ответ: −6a³b; коэффициент −6, степень 4.

Задача 2. Вычислить произведение (−2x²y) · (3xy³) и определить степень результата. Числа умножаем отдельно, чтобы не смешивать их с показателями. Затем для каждой одинаковой переменной применяем правило умножения степеней.

1. Находим коэффициент: (−2) · 3 = −6.
2. Для x получаем x² · x = x³, для y получаем y · y³ = y⁴.
3. Произведение равно −6x³y⁴, его степень равна 3 + 4 = 7.

Ответ: −6x³y⁴; степень 7.

Задача 3. Упростить выражение [−(2ab²)]³ и записать результат в стандартном виде. Квадратные скобки здесь лишь показывают, что вся скобка возводится в третью степень. Значит, степень относится и к коэффициенту, и к каждой переменной.

1. Возводим коэффициент: (−2)³ = −8, знак остаётся отрицательным, потому что степень нечётная.
2. Показатель a умножаем на 3: a¹ превращается в a³.
3. Показатель b² умножаем на 3 и получаем b⁶, поэтому результат равен −8a³b⁶.

Ответ: −8a³b⁶.

Типичные ошибки

При сложении одночленов иногда складывают их показатели. Это неверно: показатели складываются при умножении одинаковых переменных, а не при сложении выражений. Проверьте себя по знаку действия: в записи a² · a³ показатели складываются, а в a² + a³ так делать нельзя.

Другая ошибка — перемножить показатели при умножении одночленов. Так поступают, путая это действие с возведением степени в степень. При умножении a² · a³ получается a⁵, поэтому нужно именно сложение 2 + 3.

При возведении степени в степень показатели иногда складывают. Правило здесь обратное: (a²)³ = a⁶, потому что показатель 2 умножается на 3. Для проверки можно раскрыть степень как повторное умножение и пересчитать множители.

Некоторые забывают возвести коэффициент или неверно ставят знак. Например, (−2)³ = −8, а не −6 и не 8. Проверьте отдельно числовую часть и вспомните: при нечётной степени отрицательный знак сохраняется.

Связь с другими темами

До изучения одночленов нужны свойства степеней с натуральными показателями и правила умножения чисел. Одночлены используются при упрощении выражений, раскрытии скобок и действиях с многочленами. Умение находить их степень пригодится при изучении степени многочлена и выражений с несколькими переменными.

Что запомнить

• Одночлен — произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями.
• В стандартном виде числовой множитель записывают первым, а одинаковые переменные объединяют.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают, показатели одинаковых переменных складывают.
• При возведении одночлена в степень коэффициент и каждую переменную возводят в эту степень.
• Степень одночлена равна сумме показателей всех переменных в стандартном виде.