Делимость чисел

Определения и обозначения

Говорят, что целое число a делится на целое число b, если существует целое число c, для которого a = b · c, причём b ≠ 0. В этом случае a называют делимым, b — делителем, а c — частным. Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 · 4. Такое определение помогает отличить деление без остатка от ситуации, когда при делении остаётся ненулевой остаток.

Число a называют кратным числа b, если a делится на b; иначе говоря, a получается умножением b на целое число. Например, 15, 20 и 25 — кратные числа 5, потому что каждое из них можно представить как 5 · c. Одно число может иметь несколько делителей и много кратных. Эти слова нужны, чтобы точно описывать отношения между числами в задачах и при поиске общего делителя или общего кратного.

Как это устроено

Делимость связана с умножением: если a делится на b, то при делении a на b получается целое частное. Причина в том, что равенство a = b · c уже показывает, как получить делимое из делителя и частного. Например, 35 = 5 · 7, значит, 35 делится и на 5, и на 7. Если такого целого множителя нет, деление нацело не получается.

У любого ненулевого числа есть делители 1 и само это число: произведение на 1 не меняет числа, а умножение числа на 1 даёт его самого. Поэтому, например, у 13 есть делители 1 и 13, а ещё целых положительных делителей нет: 13 нельзя представить как произведение двух меньших положительных целых чисел. Числа, у которых ровно два положительных делителя, называют простыми. Это свойство помогает отличать простые числа от составных и раскладывать составные числа на множители.

Признаки делимости позволяют определить, делится ли число на некоторые числа, не выполняя деление. Для делимости на 2 достаточно последней цифры: число чётное, если эта цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Это работает потому, что все десятки, сотни и более высокие разряды содержат множитель 10, который делится на 2, поэтому на остаток влияет только единицы. Так, 438 делится на 2, а 437 — нет.

Для проверки делимости на 5 и на 10 тоже смотрят на последнюю цифру: у кратного 5 она равна 0 или 5, а у кратного 10 — только 0. Причина та же: число можно разделить на сумму круглых десятков и числа единиц, а десятки уже делятся на 5 и на 10. Для делимости на 3 или на 9 складывают цифры числа: полученная сумма должна делиться на 3 или на 9 соответственно. Например, сумма цифр 432 равна 9, поэтому 432 делится и на 3, и на 9.

У признаков делимости есть объяснение через разряды числа: 10 при делении на 3 даёт остаток 1, поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 3. Для 9 действует такая же связь, поскольку 10 тоже отличается от 1 на число, которое делится на 9. Поэтому, если сумма цифр делится на 3 или на 9, на это число делится и исходное число. Если сумма цифр не делится на нужное число, исходное число тоже не делится.

Признаки делимости на некоторые числа

Сначала выбери строку с нужным делителем, затем проверь указанное свойство числа. Признаки на 3 и 9 требуют сложить цифры, а признаки на 2, 5 и 10 — посмотреть на последнюю цифру. Если условие не выполнено, число на выбранный делитель не делится.

Разбор задач

Задача. Нужно разложить 360 одинаковых карточек поровну в 9 коробок. Узнай, получится ли положить в каждую коробку целое число карточек, и сколько карточек будет в одной коробке. Здесь 360 — делимое, а 9 — делитель, поэтому сначала проверим делимость, а затем найдём частное.

1. Сложим цифры числа 360: 3 + 6 + 0 = 9. Это удобно, потому что для делимости на 9 достаточно проверить, делится ли на 9 сумма цифр.
2. Сумма 9 делится на 9, значит, по признаку делимости на 9 число 360 тоже делится на 9. Следовательно, карточки можно распределить поровну, не оставив остатка.
3. Найдём частное: 360 : 9 = 40. Проверим результат умножением: 40 · 9 = 360, значит, частное найдено верно.

Ответ: да, карточки можно разложить поровну; в каждой коробке будет 40 карточек. Проверка умножением особенно полезна, если деление выполнялось вычислениями, а не только по признаку. Она подтверждает и делимость, и правильность найденного количества.

Ещё один пример. Проверим, делится ли 735 на 5 и на 3. Для 5 смотрим на последнюю цифру: это 5, значит, число делится на 5. Для 3 складываем цифры: 7 + 3 + 5 = 15, а 15 делится на 3, поэтому 735 делится и на 3.

В таких проверках важно применять признак именно того делителя, который указан в вопросе. Последняя цифра помогает проверить делимость на 5, но не заменяет проверку на 3; сумма цифр, наоборот, используется для проверки на 3 и 9. Если признаки не подходят или нужно узнать частное, следует выполнить деление и проверить ответ умножением.

Типичные ошибки

• Путают делитель и кратное. Например, в равенстве 24 = 6 · 4 число 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6. Ошибка возникает, когда ориентируются только на слова «делится на» и не устанавливают, какое число делят. Чтобы проверить себя, запиши равенство делимого произведением делителя и целого частного.
• Смотрят на последнюю цифру, проверяя делимость на 3 или 9. Для этих делителей нужна сумма всех цифр, а последняя цифра сама по себе ничего не решает. Такую ошибку допускают, перенося признак для 2, 5 или 10 на другие числа. Проверь, какой именно признак относится к делителю из условия.
• Считают, что подходящего признака достаточно для нахождения частного. Признак показывает, делится число или нет, но обычно не сообщает, сколько получится при делении. Например, для 360 и 9 он подтверждает делимость, а частное нужно вычислить отдельно. Проверка произведением делителя на частное помогает обнаружить ошибку.

Связь с другими темами

Делимость связана с умножением и делением: равенство a = b · c показывает, почему деление на b выполняется без остатка. Эти знания нужны при разложении числа на множители и поиске простых делителей. Они помогают сокращать дроби: если числитель и знаменатель имеют общий делитель, оба числа можно разделить на него без изменения значения дроби. Признаки делимости также упрощают устные вычисления и проверку ответов в задачах.

Что запомнить

• Число делится на другое, если их частное — целое число; иначе говоря, a = b · c.
• Делитель — число, на которое делят; кратное получается умножением делителя на целое число.
• На 2, 5 и 10 проверяют по последней цифре, а на 3 и 9 — по сумме цифр.
• Признак делимости отвечает на вопрос, делится ли число; для нахождения частного нужно выполнить деление.
• Проверить деление можно умножением: делитель · частное должно равняться делимому.