"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Делимость чисел показывает, можно ли разделить одно целое число на другое без остатка. Она помогает находить делители и кратные, распознавать простые и составные числа, раскладывать числа на простые множители. Главное правило: если a = bq, где q — целое число, то a делится на b. На этом правиле основаны свойства делимости суммы, разности и произведения, а также поиск общих делителей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое число a делится на целое число b, если существует целое число q, для которого a = bq. При b ≠ 0 это записывают так: b | a. Такое определение позволяет заменить проверку деления поиском целого множителя q.
Число b называют делителем числа a, если a делится на b без остатка. Например, 6 — делитель 24, потому что 24 = 6 · 4. Понятие делителя нужно, чтобы находить все числа, на которые данное число делится нацело.
Число a называют кратным числа b, если a = bq для некоторого целого q. Например, 24 — кратное 6, поскольку 24 = 6 · 4. Так обозначают числа, получаемые умножением данного числа на целые множители.
Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Составное число имеет больше двух натуральных делителей. Единица не является ни простым, ни составным числом, потому что у неё только один натуральный делитель.
При делении с остатком число представляют в виде a = bq + r, где r — остаток. Если r = 0, получается a = bq, поэтому деление выполняется нацело и b | a. Причина такой связи в том, что нулевой остаток не добавляет к произведению никакой части.
Если b | a, то b является делителем a, а a — кратным b, то есть эти два слова описывают одну связь с разных сторон. У числа обычно бывает несколько делителей, а кратных ему чисел бесконечно много: b, 2b, 3b и так далее. Например, у 6 есть делители 1, 2, 3 и 6, а его натуральные кратные начинаются с 6, 12 и 18.
Пусть a = bm и c = bn. Тогда a + c = b(m + n), а a − c = b(m − n), поэтому сумма и разность чисел, делящихся на b, тоже делятся на b. При умножении делимого на целое число k получаем ak = b(mk), значит, b | ak. Если одновременно умножить делитель и делимое на один и тот же ненулевой множитель, равенство также сохраняет вид произведения.
Чтобы найти делители числа, проверяют числа от 1 до самого числа или используют его разложение на простые множители. Простое число нельзя представить произведением меньших натуральных чисел, кроме произведения 1 и самого числа. Если разложение содержит несколько множителей или множитель больше 1 и 1, число составное, а произведения выбранных простых множителей дают его делители.
| Факт | Запись или условие | Что из этого следует |
|---|---|---|
| Определение делимости | a = bq, q ∈ Z, b ≠ 0 | b | a; деление a на b выполняется без остатка |
| Связь делителя и кратного | b | a | b — делитель a, а a — кратное b |
| Делимость суммы и разности | b | a и b | c | b | (a + c) и b | (a − c) |
| Делимость произведения | b | a | b | ak для любого целого k |
| Простое и составное число | Учитываются натуральные делители | У простого их 2, у составного — больше 2 |
Сначала найдите в условии делитель и делимое, а затем выберите подходящую строку таблицы. Запись b | a читается «b делит a», а не наоборот. Для доказательства обычно достаточно представить числа в виде произведений и вынести общий множитель.
Проверьте, делится ли 84 на 7, и укажите частное. Нужно представить 84 в виде произведения 7 и целого числа. Если такой множитель найдётся, остаток при делении будет равен нулю.
Ответ: 84 делится на 7; частное равно 12.
Докажите, что если a делится на 5 и b делится на 5, то a + b делится на 5. Из условий следует, что существуют целые числа m и n, для которых a = 5m и b = 5n. Подставим эти представления в сумму и выделим множитель 5.
Ответ: a + b делится на 5.
Найдите все натуральные делители числа 180 и выделите среди них простые. Начнём с разложения 180 на простые множители, чтобы составлять делители системно. Получим 180 = 2² · 3² · 5.
Ответ: делители — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180; простые среди них — 2, 3 и 5.
Путаница в записи b | a возникает, когда ученик меняет местами делитель и делимое. В этой записи b — число, на которое делят, а a — число, которое делят. Проверьте себя вопросом: можно ли представить a как bq.
Иногда считают, что если сумма делится на число, то каждое слагаемое тоже делится на него. Это неверно: например, 2 + 3 = 5 делится на 5, но ни 2, ни 3 на 5 не делятся. Для вывода о сумме нужны условия о делимости каждого слагаемого.
При доказательстве делимости могут записать частное, не объяснив, является ли оно целым. Такое доказательство неполно, потому что по определению множитель q должен быть целым. Записывайте исходные числа как b умножить на целые числа.
Единицу часто называют простым числом по ошибке, потому что она делит любое натуральное число. Но у 1 только один натуральный делитель, тогда как у простого числа их ровно два. Перед классификацией пересчитайте делители.
Для изучения делимости нужны навыки деления с остатком, умножения и разложения натуральных чисел на множители. Эти умения позволяют проверять нулевой остаток и составлять список делителей.
Делимость используется при нахождении НОД и НОК, сокращении дробей и преобразовании алгебраических выражений. Она помогает увидеть общие множители и правильно выполнять действия с числами.
Как понять, делится ли одно число на другое без остатка?
Нужно выполнить деление и проверить остаток. Если остаток равен нулю, то делимое можно представить в виде произведения делителя и целого частного: a = bq.
Чем делитель отличается от кратного?
В записи b | a число b называют делителем числа a, а число a — кратным числа b. Например, 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.
Можно ли складывать числа, делящиеся на одно и то же число?
Да, сумма и разность таких чисел тоже делятся на это число. Если a = bm и c = bn, то a + c = b(m + n), а разность имеет вид b(m − n).
Почему единица не считается простым числом?
У простого числа ровно два натуральных делителя: 1 и само число. У единицы только один натуральный делитель — она сама, поэтому простым числом 1 не является.
Как найти все натуральные делители числа?
Сначала число удобно разложить на простые множители. Затем составляют все произведения этих множителей, включая 1 и само число, и проверяют, чтобы одинаковые делители не повторялись.
§ 40. Делимость чисел
