"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Параметр — это буква, которая обозначает число, значение которого заранее неизвестно. При решении его считают постоянным, но ответ исследуют для разных значений этой буквы. Поэтому задача с параметром может давать разные решения или разное число решений в зависимости от параметра. Главное — найти значения, при которых меняется вид задачи, и для каждого случая получить полный ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параметр — буквенная величина, значение которой фиксируют на время решения, но могут изменять при рассмотрении всей задачи. Например, в уравнении (a − 2)x = 6 буква a — параметр, а x — неизвестная. Пока мы решаем уравнение при одном выбранном a, оно ведёт себя как постоянное число. Такое различие помогает не смешивать то, что дано для отдельного решения, с тем, что требуется найти.
Задача с параметром — задача, ответ в которой зависит от допустимых значений параметра. При одних значениях параметра у уравнения могут быть решения, а при других — ни одного или несколько. Поэтому требуется не одно число, а описание ответа для всех возможных значений параметра. Это позволяет увидеть, как изменение условия влияет на результат.
Допустимые значения параметра — значения, при которых выражения и преобразования задачи имеют смысл. Например, если в условии есть дробь со знаменателем a − 1, значение a = 1 недопустимо: оно обращает знаменатель в ноль. Ограничения могут касаться и неизвестной, например подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Проверка этих условий не даёт включить в ответ значения, при которых исходная задача не определена.
Равносильные преобразования с параметром — преобразования, сохраняющие множество решений при каждом допустимом значении параметра. Прибавление одного и того же выражения к обеим частям уравнения сохраняет его решения. А деление на выражение с параметром равносильно исходному уравнению только там, где это выражение не равно нулю. Это определение напоминает, что правильность привычного действия зависит от условий на параметр.
При решении параметр сначала рассматривают как постоянное число, потому что уравнение или неравенство нужно решить в конкретных условиях. Это похоже на задачу, где буква уже заменена некоторым числом, только само число пока не выбрано. Затем исследуют разные значения параметра, чтобы получить ответ для всего условия задачи. Если параметр меняется, могут измениться коэффициенты, корни и даже сам тип уравнения.
До преобразований находят область допустимых значений — все такие значения переменной и параметра, при которых исходные выражения определены. Например, знаменатель не должен равняться нулю, а выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это важно, потому что преобразование может случайно включить значения, которых изначально не было в задаче. Ограничения записывают заранее и учитывают при окончательной проверке ответа.
Особенно осторожно нужно делить на выражение с параметром: в одном случае оно может быть ненулевым, а в другом — нулевым. Если разделить сразу, случай нулевого значения исчезнет, хотя исходное уравнение при нём может иметь решения. Поэтому выражение приравнивают к нулю и отдельно решают задачу для полученного значения параметра. В остальных случаях деление разрешено, и можно продолжать решение обычным способом.
Особые значения параметра возникают там, где меняется устройство задачи: обращается в ноль коэффициент, дискриминант или знаменатель. Нулевой коэффициент при неизвестной может превратить линейное уравнение в равенство без неизвестной или в тождество. Нулевой дискриминант означает совпадение корней квадратного уравнения, а смена его знака меняет число действительных корней. Такие точки отделяют друг от друга промежутки, внутри которых решение устроено одинаково.
Ответ обычно состоит из нескольких случаев, потому что одно и то же уравнение может вести себя по-разному при разных параметрах. Сначала находят значения, на которых меняется тип уравнения или взаимное расположение корней, затем рассматривают получившиеся промежутки и сами граничные точки. Для каждого случая указывают условие на параметр и множество решений по переменной. Такая запись показывает, что исследованы не только удобные значения, но и весь допустимый набор параметров.
| Ситуация | Что проверить | Основной приём | Как оформить ответ |
|---|---|---|---|
| Коэффициент при неизвестной зависит от параметра | Когда коэффициент равен нулю | Разделить решение на случаи и отдельно рассмотреть вырожденное уравнение | Указать значения параметра и решения для каждого случая |
| Знак выражения зависит от параметра | Нули выражения и порядок точек на числовой прямой | Метод интервалов с учётом расположения корней | Разбить значения параметра по точкам изменения порядка корней |
| Квадратное уравнение зависит от параметра | Дискриминант и возможное исчезновение старшего коэффициента | Исследовать знак дискриминанта и особые случаи | Описать число и вид корней при разных значениях параметра |
| Требуется заданное число решений | Условия существования, совпадения или отсутствия корней | Составить и решить систему условий на параметр | Записать множество всех значений параметра |
Начинайте с поиска значений, при которых может измениться тип уравнения или расположение его корней. Затем разделите область параметра на отдельные случаи и примените подходящий приём из таблицы. В конце для каждого случая запишите и условие на параметр, и решения по переменной.
Решим уравнение (a − 2)x = 6 в зависимости от параметра a. Неизвестная здесь x, а параметр a влияет на коэффициент при ней. Поэтому сначала выясним, когда этот коэффициент равен нулю, и не будем делить на него до проверки. После этого решим уравнение в каждом из полученных случаев.
Приравняем коэффициент к нулю: a − 2 = 0, значит, a = 2. Если подставить это значение в исходное уравнение, получится 0 · x = 6. Такое равенство невозможно при любом x, поскольку ноль не равен шести. Следовательно, при a = 2 решений нет.
Если a ≠ 2, коэффициент a − 2 ненулевой, и на него можно разделить обе части уравнения. Получим x = 6/(a − 2). Здесь деление допустимо именно благодаря условию a ≠ 2. Значение x является единственным решением для каждого такого параметра.
Ответ: при a = 2 решений нет; при a ≠ 2 единственное решение x = 6/(a − 2). Для проверки подставьте найденное x в исходное уравнение и убедитесь, что случай a = 2 не потерян. Такой разбор показывает, почему сначала проверяют возможность деления.
Решим неравенство (x − a)(x − 2) ≤ 0 в зависимости от a. Нули левой части — точки x = a и x = 2, а произведение двух линейных множителей неположительно между корнями. Но положение точки a относительно двойки зависит от параметра. Рассмотрим сначала, совпадают ли точки, а затем их порядок.
Если a < 2, корни расположены в порядке a, 2. Произведение неположительно на отрезке между ними, включая концы, где оно равно нулю. Значит, решение — a ≤ x ≤ 2.
Если a > 2, порядок корней меняется: сначала 2, затем a. Между этими точками произведение также неположительно, поэтому 2 ≤ x ≤ a. Если a = 2, оба множителя равны x − 2, и неравенство превращается в (x − 2)² ≤ 0. Квадрат неотрицателен и равен нулю только при x = 2, значит, решение — одна точка.
Ответ: при a < 2: x ∈ [a; 2]; при a = 2: x = 2; при a > 2: x ∈ [2; a]. Включение концов связано со знаком ≤: в корнях произведение равно нулю. Сравнение корней до применения метода интервалов помогает не перепутать границы отрезка.
Исследуем уравнение x² − 2(a + 1)x + a² − 1 = 0: найдём число корней и сами корни. Коэффициент при x² равен 1 при любом a, поэтому уравнение всегда остаётся квадратным. Число действительных корней определяет дискриминант: при положительном значении корней два, при нулевом один, при отрицательном действительных корней нет. Сначала вычислим его и упростим.
Здесь D = [−2(a + 1)]² − 4(a² − 1) = 4(a + 1)² − 4(a² − 1) = 8(a + 1). Знак дискриминанта зависит от выражения a + 1. При a < −1 он отрицателен, поэтому действительных корней нет; при a = −1 он равен нулю.
Если a = −1, уравнение принимает вид x² = 0, поэтому единственный корень — x = 0. Если a > −1, дискриминант положителен и существуют два корня. По формуле x = [2(a + 1) ± √(8(a + 1))]/2 = a + 1 ± √(2(a + 1)).
Ответ: при a < −1 действительных корней нет; при a = −1 один корень x = 0; при a > −1 два корня x = a + 1 ± √(2(a + 1)). Проверка старшего коэффициента показывает, что здесь не возникает отдельного линейного случая. Разделение по знаку дискриминанта охватывает все значения параметра.
Деление на выражение с параметром без проверки его равенства нулю приводит к потере отдельного случая. Так поступают, потому что обычное решение уравнений подсказывает сразу избавиться от коэффициента при неизвестной. Перед делением приравняйте этот коэффициент к нулю и решите исходное уравнение отдельно. Проверка проста: подставьте найденное особое значение в исходную запись.
Если разобрать только одно значение параметра, задача с параметром превратится в обычную и останется нерешённой для остальных значений. Часто это происходит, когда ученик выбирает удобное число и принимает результат за общий. Найдите все значения, где меняются коэффициенты, корни или ограничения, и перечислите промежутки между ними. Для самопроверки убедитесь, что разбор покрывает всю допустимую область параметра.
Формула корней квадратного уравнения неприменима, если старший коэффициент равен нулю: тогда уравнение уже не квадратное. Ошибку допускают, потому что видят остальные члены и сразу начинают считать дискриминант. Сначала проверьте коэффициент при x², подставив особые значения параметра. Если коэффициент исчез, решайте полученное линейное уравнение или проверьте, не осталось ли равенство без неизвестной.
Неверный порядок корней на числовой прямой меняет ответ неравенства. Это случается, когда точки с параметром сразу записывают в привычном порядке, не сравнив их. Найдите значения параметра, при которых корни совпадают, и проверьте порядок на каждом промежутке. Затем расположите точки на прямой и проверьте знак выражения на одном пробном значении из каждого интервала.
Для решения задач с параметрами нужны навыки работы с линейными и квадратными уравнениями, неравенствами, дискриминантом и методом интервалов. Новая трудность не в незнакомых вычислениях, а в необходимости следить за тем, при каких значениях параметра они допустимы. Разбиение на случаи помогает аккуратно учитывать ограничения области определения. Эти приёмы пригодятся при решении систем уравнений, исследовании функций и графическом решении задач, а также в олимпиадной математике.
Чем параметр отличается от неизвестной?
Неизвестную величину нужно найти при решении уравнения или неравенства. Параметр во время одного решения считают фиксированным числом, а затем рассматривают, как меняется ответ при других его значениях.
Почему нельзя сразу разделить на выражение с параметром?
Такое выражение может оказаться равным нулю, а на ноль делить нельзя. Если разделить без проверки, можно потерять отдельный случай или получить неверный ответ. Сначала приравняйте выражение к нулю и рассмотрите этот случай отдельно.
Как понять, на какие случаи нужно разбить решение?
Ищите значения параметра, при которых меняется вид уравнения или неравенства: коэффициент становится нулём, корни совпадают или меняют порядок. Эти значения делят числовую прямую на промежутки. Внутри каждого промежутка решайте задачу отдельно.
Что делать, если при некотором значении параметра квадратное уравнение становится линейным?
Подставьте это значение параметра в исходное уравнение и проверьте коэффициент при x². Если он равен нулю, решайте получившееся линейное уравнение, а не применяйте формулу корней квадратного уравнения.
Как проверить, что ответ охватывает все значения параметра?
Сравните промежутки и отдельные точки, на которые вы разделили значения параметра: вместе они должны покрывать всю допустимую область. Проверьте граничные и особые значения подстановкой в исходное условие. Для каждого случая убедитесь, что найденные решения подходят.
§ 39. Задачи с параметрами
