§ 7. Задачи с параметрами

Определения и обозначения

Параметр — фиксированная величина, значение которой задаёт конкретный вид уравнения или условия задачи. В пределах одного решения мы считаем параметр постоянным, хотя заранее можем не знать, чему он равен. Это понятие позволяет описывать сразу целое семейство уравнений.

Уравнение с параметром — уравнение, содержащее неизвестную и параметр. Неизвестную находят при заданном значении параметра, поэтому ответ может меняться вместе с ним. Такие уравнения помогают выяснить, как условия задачи влияют на её решение.

Решение уравнения с параметром — значение неизвестной, которое превращает уравнение в верное равенство при выбранном значении параметра. Чтобы проверить найденное решение, его подставляют в исходное уравнение вместе с этим значением параметра. Так можно убедиться, что преобразования не привели к постороннему ответу.

Множество решений — все значения неизвестной, удовлетворяющие уравнению при данном значении параметра. Оно может состоять из одного числа, нескольких чисел или не содержать чисел вовсе. Иногда уравнение верно при любом значении неизвестной, и тогда решений бесконечно много.

Как это устроено

Неизвестная и параметр выполняют разные роли: неизвестную требуется определить, а параметр во время решения принимают за постоянное число. Например, в уравнении ax + 2 = 0 буквой x обозначена неизвестная, а буква a задаёт коэффициент. Если изменить a, получится другое уравнение, поэтому ответ удобно описывать для разных значений параметра. Это похоже на решение нескольких уравнений одного типа по общему правилу.

Решение делят на случаи, потому что отдельные значения параметра способны изменить ход преобразований. Например, если мы хотим разделить обе части уравнения на выражение a − 3, сначала проверяем a = 3: при этом выражение равно нулю, и деление невозможно. В таком случае исходное уравнение нужно упростить отдельно, а остальные значения параметра рассматривать при a ≠ 3. Так ни один возможный случай не потеряется.

В линейном уравнении ax + b = 0 сначала выделяют коэффициент a при неизвестной и проверяют, равен ли он нулю. При a ≠ 0 можно разделить обе части на a и получить x = −b/a. При a = 0 неизвестная исчезает: если b ≠ 0, получается неверное равенство, а если b = 0 — верное при любом x. Поэтому именно проверка коэффициента показывает, сколько решений будет у уравнения.

Для квадратного уравнения дискриминант D = b² − 4ac позволяет определить число действительных корней, если старший коэффициент a не равен нулю. При D > 0 под корнем в формуле корней стоит положительное число, поэтому получаются два различных корня; при D = 0 — один повторяющийся корень. Если D < 0, действительных корней нет, потому что квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не определён. Значения параметра, при которых D = 0, проверяют отдельно как границы случаев.

Ответ часто разбивают на промежутки и отдельные значения параметра, потому что внутри каждого такого участка знаки нужных выражений не меняются. Значит, сохраняются и вид уравнения, и число его решений. На границах промежутков коэффициент может обратиться в ноль или дискриминант может стать равным нулю. Проверка этих значений помогает правильно включить их в ответ или исключить из него.

Как число решений зависит от параметра

Сначала определите, сохранился ли уравнению его обычный вид: для линейного проверьте коэффициент при x, а для квадратного — старший коэффициент. Затем используйте соответствующую строку таблицы и подставьте значение параметра в оставшееся уравнение. Для квадратного уравнения сравнивайте дискриминант с нулём только после проверки старшего коэффициента.

Разбор задач

Задача 1. При каких значениях параметра a уравнение (a − 2)x = 6 имеет единственное решение, и чему оно равно? Коэффициент при x здесь зависит от параметра, поэтому сначала проверим, когда он исчезает. Если a − 2 не равен нулю, обе части можно разделить на этот коэффициент. Если равен нулю, нужно вернуться к уравнению и посмотреть, останутся ли в нём решения.

1. При a ≠ 2 делим обе части на a − 2: x = 6/(a − 2). Это одно значение x, значит, решение единственное.
2. При a = 2 исходное уравнение превращается в 0 · x = 6. Оно не имеет решений, так как ноль не равен шести.

Ответ: при a ≠ 2 уравнение имеет единственное решение x = 6/(a − 2).

Задача 2. Определим число действительных корней уравнения x² − 2ax + a + 2 = 0 в зависимости от a. Старший коэффициент равен 1 при любом a, поэтому уравнение всегда квадратное. Для подсчёта корней найдём дискриминант и выясним, когда он положителен, равен нулю или отрицателен. Значения, при которых дискриминант обращается в ноль, разделят числовую прямую на нужные промежутки.

1. Здесь b = −2a, c = a + 2, поэтому D = (−2a)² − 4(a + 2) = 4(a − 2)(a + 1).
2. Нули дискриминанта: a = −1 и a = 2. Произведение положительно при a < −1 или a > 2, отрицательно при −1 < a < 2.
3. При a = −1 или a = 2 дискриминант равен нулю. Используем правило для квадратного уравнения, учитывая, что его старший коэффициент не исчезает.

Ответ: два корня при a < −1 или a > 2; один корень при a = −1 или a = 2; корней нет при −1 < a < 2.

Задача 3. Найдём все значения a, при которых уравнение (a − 1)x² + 2(a − 1)x + a + 3 = 0 имеет ровно один действительный корень. Нельзя сразу применять формулу квадратного уравнения: при a = 1 старший коэффициент исчезает. Поэтому сперва разберём это значение, а затем найдём дискриминант для остальных значений параметра.

1. При a = 1 получаем 4 = 0, то есть решений нет. Значение a = 1 не подходит.
2. При a ≠ 1 уравнение квадратное. Его дискриминант равен D = [2(a − 1)]² − 4(a − 1)(a + 3) = −16(a − 1).
3. Один действительный корень у квадратного уравнения бывает при D = 0. Равенство −16(a − 1) = 0 даёт a = 1, но этот случай уже проверен и квадратным уравнением не является.

Ответ: таких значений параметра нет.

Типичные ошибки

Деление на выражение с параметром без проверки нуля может незаметно исключить значение параметра, при котором уравнение устроено иначе. Так делают, потому что привычное преобразование кажется допустимым при любых коэффициентах. Перед делением приравняйте делитель к нулю и разберите полученный случай в исходном уравнении. После этого продолжайте решение только при условии, что делитель не равен нулю.

Применение формулы корней без проверки старшего коэффициента ошибочно: если он равен нулю, уравнение уже не квадратное. Эту проверку часто пропускают, когда коэффициенты записаны длинными выражениями с параметром. Сначала найдите значение параметра, при котором коэффициент при x² равен нулю, и подставьте его в исходное уравнение. Лишь при ненулевом старшем коэффициенте используйте дискриминант.

Условие D = 0 не означает, что решений нет: квадратное уравнение тогда имеет один действительный корень. Путаница возникает, если запомнить только случаи положительного и отрицательного дискриминанта. Проверьте себя по формуле корней: при D = 0 оба знака перед корнем дают одно и то же значение. Поэтому такой случай записывают как «один корень».

Если не проверить граничные значения найденных промежутков, можно ошибочно включить или исключить их из ответа. На границе дискриминант может обратиться в ноль, а коэффициент — исчезнуть, то есть число или вид решений изменятся. Подставьте каждое граничное значение в исходное уравнение и отдельно установите число решений. Затем оформите ответ с правильными знаками неравенств.

Связь с другими темами

Для решения уравнений с параметрами нужны навыки решения линейных и квадратных уравнений, работы с дробями и преобразования алгебраических выражений. В частности, придётся уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и находить значения выражений при заданном параметре. Разбор квадратных уравнений напрямую опирается на дискриминант и правила определения числа корней.

Тот же способ рассуждений применяют в параметрических неравенствах и системах уравнений. Там тоже важно выделить значения параметра, при которых меняется знак выражения или вид условий. Навык разделять задачу на случаи помогает отвечать не только на вопрос о корнях, но и на вопросы о числе решений системы.

Что запомнить

• Параметр фиксирован в пределах одного решения, но его значение может меняться.
• Неизвестную и параметр нельзя считать одной и той же величиной.
• Перед делением проверь, может ли делитель обратиться в ноль.
• Если старший коэффициент равен нулю, квадратное уравнение перестаёт быть квадратным.
• Знак дискриминанта определяет число действительных корней квадратного уравнения.
• Каждый случай для параметра нужно проверить и включить в ответ.